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Erkundung - Laserstrahlen

Ein riesiger Laserpointer

In mehreren Städten werden Laser genutzt, um den Nachthimmel zu erleuchten. Recht bekannt ist das Laserscape Kassel.

Laserscape Kassel[1]

Unser Ziel ist es, einen solchen Laser mathematisch zu beschreiben.

Eine mathematische Beschreibung des Lasers

Wir betten die Situation in ein 3D-Koordinatensystem ein. Wir gehen davon aus, dass der Laserpointer auf einem Stativ steht. Dieses befindet sich an Position $P(3|-1|2)$. Der Laserpointer ist dabei in Richtung $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right)$ ausgerichtet.

Aufgabe 1

Der Laserstrahl erreicht unendlich viele Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem. Bestimme drei davon.

Aufgabe 2

Im vorherigen Abschnitt hast du eine Gerade angegeben, auf der sich alle gegebenen Drohnen befinden. Gib nun genauso eine Gerade für den Laserstrahl an.

Bei den Drohnen wurde eine „Referenzdrohne“ auf der Gerade ausgewählt, deren Koordinaten bekannt waren, ihren Ortsvektor nannten wir $\vec{p}$. Außerdem wurde ein Vektor $\vec{u}$ genutzt, der die Richtung der Gerade beschreibt. Dieser Richtungsvektor wurde mit einem Parameter $t$ multipliziert. Die Gleichung lautete dann $g: \vec{x} = \vec{p} + t\cdot \vec{u}$.

Aufgabe 3

In der Geradengleichung aus Aufgabe 2 kommt ein Parameter $t$ vor. Bei den Drohnen ergaben nur ganzzahlige Werte von $t$ Sinn. Welche Werte von $t$ sind in der aktuellen Situation sinnvoll? Beschreibe mit Fachbegriffen. Die folgende Animation kann dir dabei helfen.

Quelle: gerade2.ggb

Um ein reales Problem mathematisch zu lösen, muss man es erst in der „Sprache der Mathematik“ beschreiben. Das nennt man Modellierung. In der Modellierung muss man sich immer wieder fragen: Passt mein Modell zum gegebenen Problem? Hier bedeutet das, dass man wie in Aufgabe 3 darüber nachdenkt, ob die Modellierung als Gerade ggf. nicht ganz richtig ist.

Eine „Lasergerade“

Bisher ging der Laserstrahl vom Stativ aus in eine Richtung, aber nicht in die Gegenrichtung. Streng genommen beschreibt man ihn also besser durch eine Halbgerade, als durch eine Gerade. (Tatsächlich ist „Strahl“ in der Mathematik eine andere Bezeichnung für Halbgeraden.) Im Folgenden betrachten wir „Lasergeraden“, die vom Stativ aus auch in die Gegenrichtung verlaufen, also echte Geraden bilden.

Aufgabe 4

Der aktuelle Ort für das Stativ mit dem Laserpointer ist nicht gut geeignet, weil es dort sehr windig ist. Es wird ein neuer Platz gesucht, sodass aber die Lasergerade gleich bleibt.

(a) Begründe, waurm es möglich ist, das Stativ auch an anderen Orten zu positionieren, ohne die Gerade zu verändern. Gib mindestens einen anderen Punkt $P_2$ an, an dem das Stativ positioniert werden könnte.

(b) Kann man auch den Richtungsvektor ändern, ohne die Gerade zu verändern? Falls ja: Gib einen möglichen anderen Richtungsvektor für dieselbe Gerade an.

(c) Beschreibe möglichst präzise: Welche Eigenschaften müssen andere Stativpunkte $P$ und Richtungsvektoren $\vec{u}$ erfüllen, damit sie dieselbe Gerade beschreiben?

Aufgabe 5

Wir wiederholen die Überlegungen aus Aufgabe 4 anhand einer Animation. Du kannst hier die Stativposition $P$ verschieben. Außerdem kannst du $Q$ verschieben, um $\vec{u}$ anzupassen.

(a) Überprüfe dein Ergebnis aus Aufgabe 4c mit der nachfolgenden Animation.

(b) Alpha möchte einen weiteren Laser installieren, damit gleich zwei „Lasergeraden“ den Himmel erhellen. Die zweite Lasergerade $h$ wird durch die folgende Vektorgleichung beschrieben: $$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + r\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right).$$ Beta zweifelt daran, dass das einen großen Effekt hätte. Finde mit der Animation heraus, wieso.

In der Animation siehst du die Gerade $g$. Verschiebe den Punkt $P$ (Stativ von $g$) auf die Position des Stativs von $h$. Passe danach auch den Richtungsvektor an.

Quelle: gerade3.ggb

Quellen

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