Dimension und erzeugende Vektoren

Die Bausteine linearer Gebilde untersuchen

Die Darstellung geometrischer Objekte benutzt Vektoren in zwei Funktionen:

• einen Stützvektor, der zum geometrische Objekt führt
• erzeugende Vektoren, die Richtungen des geometrischen Objekts festlegen

Zum Herunterladen: linearegebilde1.ggb

Aufgabe 1: Darstellung einer Geraden

Diesen Fall kennst du bereits. Eine Gerade lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und einem erzeugenden Vektor $\vec{u}$ (dem Richtungsvektor) beschreiben:

$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

Verdeutliche diese Darstellung von Geraden im Applet. Blende hierzu jeweils einen erzeugenden Vektor ein (z.B. $\vec{u}$) und variiere den entsprechenden Parameter (im Fall von $\vec{u}$ ist das der Parameter $r$). Beachte, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, wie man jeden Punkt der (hier eingeschränkten) Geraden durch PQ (bzw. PS bzw. PA) erhält.

Aufgabe 2: Darstellung einer Ebene

Auch diesen Fall kennst du bereits. Eine Ebene lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und zwei erzeugenden Vektor $\vec{u}$ und $\vec{v}$ (den Spannvektoren) beschreiben:

$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)

Verdeutliche diese Darstellung von Ebenen im Applet. Blende hierzu zwei erzeugende Vektoren ein (z.B. $\vec{u}$ und $\vec{v}$) und variiere die entsprechenden Parameter. Beachte auch hier, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, wie man jeden Punkt der (hier eingeschränkten) Ebene durch PQRS (bzw. PQAB bzw. PSDA) erhält.

Aufgabe 3: Darstellung eines Raumes

Dieser Fall ist neu. Welche Punktmenge lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und drei erzeugenden Vektor $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ beschreiben?

$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$ (mit $r, s, t \in \mathbb{R}$)

Blende hierzu alle drei erzeugenden Vektor ($\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$) ein und variiere die jeweiligen Parameter. Beachte auch hier, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.

Demonstriere, dass man jeden Punkt des Körpers erhält, der von den drei erzeugenden Vektoren aufgespannt wird.

Begründe, dass man jeden Punkt des 3D-Raumes erhält, wenn für die Parameter beliebige reelle Zahlen zugelassen sind.

Aufgabe 4: Darstellung eines Punktes

Betrachte abschließend noch den Sonderfall, dass nur ein Stützvektor $\vec{p}$ gegeben ist - aber keine erzeugenden Vektoren.

$\vec{x} = \vec{p}$

Blende hierzu alle drei erzeugenden Vektor ($\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$) aus. Begründe, dass nur ein einzelner Punkt so beschrieben wird.

Aufgabe 5: Dimensionen

In der folgenden Tabelle sind alle Fälle noch einmal eingetragen. Wie hängt die Anzahl der erzeugenden Vektoren von der Dimension des linearen geometrischen Gebildes ab?

lineares geometrisches Gebilde	Dimension	Linearkombinationen
Punkt	0	$\vec{x} = \vec{p}$
Gerade	1	$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$
Ebene	2	$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$
Raum	3	$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$