Punkte (einfacher)

• $P1(3|-1|1.25)$
• $P2(2|0|1)$
• $P3(1|0|1.25)$
• $P4(1|2|0.5)$
• $P5(0|3|0)$
• $P6(0|0|1.5)$
• $P7(-1|-1|2.25)$
• $P8(0|-1|2)$
• $P9(0|-2|2.5)$
• $P10(1|-3|2.5)$
• $P11(1|-2|2.25)$

$E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$

Das Überprüfen von Punkten weiter vereinfachen

Punktproben mit einer vorgegebenen Ebenengleichung in Normalenform lassen sich weiter vereinfachen, indem man die Ebenengleichung umstellt.

$\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$ $\Leftrightarrow$

$\left[\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$ $\Leftrightarrow$

$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 - 1.5 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$ $\Leftrightarrow$

$1.5 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 + 6 \cdot (x_3 - 1.5) = 0$ $\Leftrightarrow$

$1.5 x_1 + 3 x_2 + 6 x_3 - 9 = 0$ $\Leftrightarrow$

$1.5 x_1 + 3 x_2 + 6 x_3 = 9$

Aufgabe

(a) Erläutere zunächst die gezeigten Umformungsschritte.

(b) Benutze die Gleichung $1.5 x_1 + 3 x_2 + 6 x_3 = 9$, um zu überprüfen, ob alle Punkte in der Ebene $E$ liegen. Dokumentiere die Ergebnisse, z.B. so:

$P7(-1|-1|2.5)$:    $1.5 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) + 6 \cdot 2.5 -1.5 - 3 + 13.5 = 9$    $\Rightarrow$    $P7$ liegt in $E$.

(c) Vergleiche den rechnerischen Aufwand dieser letzten Methode mit dem Aufwand, wenn man eine Punktprobe mit Hilfe einer Ebenengleichungen in Parameterform bzw. Normalenform durchführt.