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Strukturierung - Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

Lagebeziehungen mit Stützpunkten, Richtungsvektoren und Normalenvektoren charakterisieren

Die Tabelle zeigt mögliche Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen. Beachte, dass die Lagebeziehung "schneiden sich orthogonal" ein Spezialfall der Lagebeziehung "schneiden sich" ist.

Gehe davon aus, dass die Gerade mit einer Geradengleichung in Parameterform und die Ebene mit einer Ebengleichung in Normalenform gegeben ist. Also: $g: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{u}$ und $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$.

Lagebeziehung Veranschaulichung Bedingung
die Gerade schneidet die Ebenen schneiden sich
die Gerade schneidet die Ebene orthogonal schneiden sich
die Gerade ist echt parallel zur Ebene schneiden sich
die Gerade liegt in der Ebene schneiden sich

Ziel ist es, passende Bedingungen für die jeweiligen Beziehungen zu ergänzen. Bearbeite hierz erst einmal die folgenden Aufgaben. Ergänze abschließend die Bedingungen.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Gerade $g$ mit der Geradengleichung in Parameterform:

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$

Ergänze die Lagebeziehungen der Gerade $g$ und der Ebene $E$ in der Tabelle (mit kurzer Begründung). Überprüfe mit der Animation (siehe unten).

Ebene $E$ Lagebeziehung von $g$ und $E$ Begründung
(a) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) = 0$ die Gerade schneidet die Ebene $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind nicht linear abhängig, also nicht parallel
(b) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
(c) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
(d) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$
(e) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

Animation:

Zum Herunterladen: gerade_ebene1.ggb

Aufgabe 2

Ergänze passende Bedingungen in der Tabelle oben. Fasse dir die Ergebnisse in diesem Wissensspeicher zusammen.

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4.5.4.3
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