Erkundung - Berechnung von Punkten

Ein Fenster in der Glaspyramide im Louvre

Hier geht es nochmal um die Glaspyramide im Innhof des Louvre in Paris.

In einem Kunstprojekt soll auf eine Pyramidenseite eine Folie aufgeklebt werden, die ein Fenster zum (blauen) Himmel darstellen soll.

Zum Herunterladen: pyramide4.ggb

Vorab muss das Projekt genau geplant werden. Hierzu sollen u.a. auch die genaue Lage der Eckpunkte der Folie im Modell bestimmt werden.

Im Modell benutzen wir die folgenden vereinfachte Pyramidendaten:

Das Künstlerteam hat folgende Entscheidungen getroffen:

Berechnungen mit Hilfe der Linearkombination bekannter Vektoren

Ziel ist es, die Koordinaten der Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ zu bestimmen.

Aufgabe 1

Bestimme zunächst die Koordinaten der Hilfspunkte $G$, $M$, $N$ und $H$. Die kann man direkt aus den vorgegebenen Daten erschließen.

Aufgabe 2

Zur Kontrolle werden die Koordinaten des Hilfspunktes $G$ auch noch mit einer Linearkombination bekannter Vektoren bestimmt.

$\overrightarrow{ OG } = \overrightarrow{ OB } + \frac{1}{5} \overrightarrow{ BC } = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + \frac{1}{5} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$

Erkläre alle Schritte der Berechnung. Beachte, dass $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet. Erkläre auch, warum das Ergebnis der Berechnung die Kordinaten des Punktes $G$ liefert.

Aufgabe 3

Bestimme analog zu Aufgabe 2 die Koordinaten des Hilfspunktes $H$ mit einer Linearkombination bekannter Vektoren.

Aufgabe 4

Mit dem in Aufgabe 2 gezeigten Verfahren lassen sich auch die Koordinaten der Punkte $I$, $J$, $K$ und $L$ bestimmen. Setze die folgende Berechnung fort. Führe analoge Berechnungen für die anderen Punkte durch. Ermittle so die Koordinaten der betreffenden Punkte.

$\overrightarrow{ OI } = \overrightarrow{ OG } + \frac{1}{3} \overrightarrow{ GS } = ... $

Aufgabe 5

Mit dem folgenden Applet kannst du die Berechnungen aus Aufgabe 2 bis 4 kontrollieren. Gib in der Eingabezeile die Berechnungsformeln analog zur vorgegebenen ein. Benutze in GeoGebra Kleinbuchstaben (wie $g$) für die Ergebnisvektoren. Dabei soll $g$ für $\vec{g}$ bzw. $\overrightarrow{ OG }$ stehen.

Aufgabe 6

Beschreibe das in den vorangehenden Aufgaben benutzte Verfahren, um die Koordinaten von Punkten zu bestimmen.

Aufgabe 7

Bestimme zum Abschluss die Längen der Strecken $\overline{GH}$, $\overline{IJ}$ und $\overline{KL}$. Die Längen kann man direkt aus den Koordinaten der Punkte erschließen oder auch mit dem Betrag der entsprechenden Vektoren berechnen. Sind die Ergebnisse plausibel? Begründe anschaulich (oder mit Hilfe der Strahlensätze).