Strukturierung - Ortsvektor

Den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen

Ortsvektoren kann man benutzen, um die Koordinaten von nicht vorgegebenen Punkten zu berechnen. Wir zeigen das hier am Beispiel "Mittelpunkt einer Strecke berechnen".

Zum Herunterladen: mittelpunkt.ggb

Gegeben sind die Punkte $A(-3|5)$ und $B(5|1)$.

Gesucht sind die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ der Strecke $\overline{AB}$.

Um die Koordinaten des Punktes $M$ zu erhalten, bestimmen wir die Koordinaten des Vektors $\vec{m} =\overrightarrow{ OM }$. Man nennt diesen Vektor auch Ortsvektor des Punktes $M$. Beide - Punkt und zugehöriger Ortsvektor - haben dieselben Koordinaten.

Aufgabe 1

Ergänze die folgende Berechnung. Bestimme auf diese Weise rechnerisch die Koordinaten des Punktes $M$. Kontrolliere das Ergebnis in der Animation.

$\overrightarrow{ OM } = \overrightarrow{ OA } + \frac{1}{2} \overrightarrow{ AB } = ...$

Aufgabe 2

(a) Die Berechnungen kann man auch verallgemeinern. Erläutere alle Berechnungsschritte.

Mit $\vec{ a } = \overrightarrow{ OA }$, $\vec{ b } = \overrightarrow{ OB }$, $\vec{ m } = \overrightarrow{ OM }$ und $\overrightarrow{ AB } = \vec{ b } - \vec{ a }$ erhält man:

$\vec{ m } = \vec{ a } + \frac{1}{2} \cdot (\vec{ b } - \vec{ a }) = \vec{ a } + \frac{1}{2} \vec{ b } - \frac{1}{2}\vec{ a } = \frac{1}{2}\vec{ a } + \frac{1}{2} \vec{ b } = \frac{1}{2} (\vec{ a } + \vec{ b })$.

(b) Begründe mit dem Ergebnis aus (a):

Wenn $A$ die Koordinaten $A(a_1|a_2)$ und $B$ die Koordinaten $B(b_1|b_2)$ hat, so hat $M$ folglich die Koordinaten $M(\frac{a_1+b_1}{2}|\frac{a_2+b_2}{2})$.

Aufgabe 3

Verdeutliche die folgende Vorgehenseise noch einmal am obigen Beispiel. Um die Koordinaten eines Punkte zu bestimmen, kann man den Ortsvektor des Punktes durch eine Linearkombination aus bekannten Vektoren rechnerisch ermitteln.