Strukturierung - Verschiebungen

Objekte in der 2D-Ebene verschieben

Gamedesigner bzw. Gamedesignerin ist mittlerweile ein anerkannter Beruf. Dazu gehört nicht nur die Entwicklung einer Spielidee, Festlegung der Handlungen, Aktionen und des Plots, sondern auch deren grafische Umsetzung. Für solche Programmierungen sind mathematische Kenntnisse absolut notwendig, wie du an folgendem vereinfachten Beispiel sehen kannst:

In einem Computerspiel sollen sich gegnerische Flugobjekte (hier mit einem Dreieck vereinfach dargestellt) bewegen, indem sie an eine neue Position verschoben werdeb. Der Computer muss aus der Ausgangsposition des Flugobjekts dessen neue Position berechnen.

Zum Herunterladen: vektoren2D4.ggb

Aufgabe 1 - Erkundung

Die Gamedesignerin soll nun die Regel zur Ermittlung der neuen Position programmieren. Welche Informationen muss das Programm dazu erhalten?

(a) Du kannst das Flugobjekt in der Animation oben verschieben und die Bewegungspfeile im unteren Fenster und die zugehörigen Bewegungskoordinaten im oberen Fenster beobachten. Was fällt auf? Erläutere kurz.

(b) Du kannst auch die neuen Koordinaten konkret berechnen für den Fall, dass das Dreieck ABC durch $A(-3|-1)$, $B(-1|2)$ und $C(-4|1)$ gegeben ist. Dieses Dreieck soll mit folgenden Bewegungskoordinaten verschoben werden: $\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}\right)$. Kontrolliere mit der Animation.

(c) Fasse zusammen: Welche Informationen reichen aus, um eine Verschiebung einer Figur aus mehreren Punkten eindeutig festzulegen.

Aufgabe 2 - Vertiefung

Im Koordinatensystem liegt das Dreieck ABC mit den Ecken $A(-4|-2)$, $B(-2|-3)$ und $C(-3|1)$. Dieses Dreieck soll so verschoben werden, dass $A$ auf $A'(2|1)$ bewegt wird.

(a) Bewege zunächst die Punkte $B'$ und $C'$ an die richtigen Positionen.

Zum Herunterladen: vektoren2D3.ggb

(b) Beschreibe, wie man anhand der Bewegungskoordinaten $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ erkennen kann, dass die Positionen von $B'$ und $C'$ richtig eingestellt sind.

(c) Beschreibe, wie man aus den Koordinaten von $A$ und den Bewegungskoordinaten von $\vec{u}$ die Koordinaten von $A'$ berechnen kann.

(d) Beschreibe, wie man aus den Koordinaten von $A$ und den Koordinaten von $A'$ die Bewegungskoordinaten von $\vec{u}$ berechnen kann.

Objekte im 3D-Raum verschieben

Verschiebungen im 3D-Raum können analog zu Verschiebungen in der 2D-Ebene beschrieben werden.

Aufgabe 3

Im folgenden 3D-Koordinatensystem sind Bewegungspfeile und die zugehörigen Bewegungskoordinaten vorgegeben.

Zum Herunterladen: vektoren3D3.ggb

(a) Erläutere auch hier den Zusammenhang zwischen den Bewegungspfeilen (im unteren Fenster) und den zugehörigen Bewegungskoordinaten (im oberen Fenster).

(b) Ändere die Position von $B'$ so, dass beide Bewegungspfeile dieselben Bewegungskoordinaten haben (und somit zur selben Verschiebung gehören).

Ein neuer Begriff

Um weiter über das Thema sprechen zu können, müssen wir ein paar Begriffe einführen:

Verschiebungen können wir durch Pfeile oder durch Zahlentupel (mehrere durch Klammern zusammengefasste Zahlen) beschreiben. Wir werden meist die Zahlentupel verwenden und geben ihnen gleich einen eigenen Namen.

Meistens nutzt man als Variablenbezeichnungen Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, z.B. $\vec{u}$ oder $\vec{v}$. Die Koordinaten zählen wir dann durch: $v_1$, $v_2$ usw. In Skizzen werden wir oft die zugehörigen Verschiebungspfeile einzeichnen; wir nennen sie Vektorpfeile.

Aufgabe 4

Wir setzen uns mit den eben eingeführten Begriffen näher auseinander:

(a) Warum konzentriert man sich in der Mathematik bei der Beschreibung und Untersuchung von Verschiebungen auf Vektoren (also Zahlentupel) und nicht auf die Pfeile?

(b) Warum ist es sinnvoll, einen Vektor nicht einfach $u$ zu nennen?

Aufgabe 5

Schreibe dir das Gelernte in diesem Wissensspeicher auf.