Hinreichende Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte mit höheren Ableitungen

Die Situation

Wir gehen davon aus, dass wir zu einer Stelle $x$ die Werte von $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ kennen. Wir betrachten nun verschiedene mögliche Kombinationen und untersuchen, welche Informationen über den Verlauf von $f$ in der Nähe von $x$ wir daraus schließen können.

Da wir an Extrempunkten interessiert sind, betrachten wir nur kritische Punkte: $f'(x)$ ist daher im Foglenden immer $0$, damit die notwendige Begingung erfüllt ist.

Die 2. Ableitung berücksichtigen

In der Tabelle sind die drei Möglichkeiten für kritische Punkte an der Stelle $x=0$ aufgeführt: Entsprechend ist die Ableitung $f'(x)$ jeweils $0$. Der Funktionswert der Ausgangsfunktion, also $f(x)$ kann mit dem Schieberegler $c$ verändert werden. Die zweite Ableitung ist negativ (erste Spalte), positiv (zweite Spalte) oder null (dritte Spalte). Wie sich die zweite Ableitung rechts und links von $x$ verhält – also, ob sie steigt oder fällt – kann mit dem grünen Schieberegler verändert werden.

Der blaue und der grüne Punkt stellen die Werte für $f'(x)$ und $f''(x)$ dar. Beide können wir mit Ableitungsregeln und Einsetzen in der Regel berechnen. Wir wollen nun nur aus diesen beiden Informationen herausfinden, ob an der Stelle $x$ ein besonderer Punkt vorliegt.

Mit den Schiebereglern kann man nun die Situationen verändern und beobachten, wie sich das auf die Graphen auswirkt.

Situation 1: $f'(x) = 0$; $f''(x) \text{ < } 0$	Situation 2: $f'(x) = 0$; $f''(x) > 0$	Situation 3: $f'(x) = 0$; $f''(x) = 0$
$f'$ hat an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel.	...	...
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.	...	...

Aufgabe 1

Betätige die Schieberegler und untersuche: Was ändert sich? Was bleibt gleich?

Aufgabe 2

(a) Erkläre die Einträge in der 1. Spalte. Nutze dafür die vorgebenen Informationen über $f'(x) = 0$ (blauer Punkt) und $f''(x) \text{ < } 0$ (grüner Punkt). Tipp

(b) Ergänze die Einträge in der 2. Spalte.

(c) Warum kann man keine eindeutigen Aussagen in der 3. Spalte treffen? Erläutere mit Hilfe dem Applet.

Aufgabe 3

Welche der Wenn-Dann-Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründe mit den Situationen in der Tabelle.

Aussage 1:

Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.

Aussage 2:

Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt hat, dann gilt $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$.

Aufgabe 4

Trage in der folgenden Übersicht die passenden hinreichenden Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte ein. Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ...").

Eigenschaften von $f'$ und $f''$ (hinreichende Bedingung)	hieraus folgt	Eigenschaft von $f$
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
...	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.

Zur Kontrolle

Aufgabe 5

Fülle die dritte Box des Wissensspeichers aus.