Hinreichende Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte mit höheren Ableitungen
Die Situation
Wir gehen davon aus, dass wir zu einer Stelle $x$ die Werte von $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ kennen. Wir betrachten nun verschiedene mögliche Kombinationen und untersuchen, welche Informationen über den Verlauf von $f$ in der Nähe von $x$ wir daraus schließen können.
Da wir an Extrempunkten interessiert sind, betrachten wir nur kritische Punkte: $f'(x)$ ist daher im Foglenden immer $0$, damit die notwendige Begingung erfüllt ist.
Die 2. Ableitung berücksichtigen
In der Tabelle sind die drei Möglichkeiten für kritische Punkte an der Stelle $x=0$ aufgeführt: Entsprechend ist die Ableitung $f'(x)$ jeweils $0$. Der Funktionswert der Ausgangsfunktion, also $f(x)$ kann mit dem Schieberegler $c$ verändert werden. Die zweite Ableitung ist negativ (erste Spalte), positiv (zweite Spalte) oder null (dritte Spalte). Wie sich die zweite Ableitung rechts und links von $x$ verhält – also, ob sie steigt oder fällt – kann mit dem grünen Schieberegler verändert werden.
Der blaue und der grüne Punkt stellen die Werte für $f'(x)$ und $f''(x)$ dar. Beide können wir mit Ableitungsregeln und Einsetzen in der Regel berechnen. Wir wollen nun nur aus diesen beiden Informationen herausfinden, ob an der Stelle $x$ ein besonderer Punkt vorliegt.
Mit den Schiebereglern kann man nun die Situationen verändern und beobachten, wie sich das auf die Graphen auswirkt.
| Situation 1: $f'(x) = 0$; $f''(x) \text{ < } 0$ | Situation 2: $f'(x) = 0$; $f''(x) > 0$ | Situation 3: $f'(x) = 0$; $f''(x) = 0$ |
|---|---|---|
| $f'$ hat an der Stelle $x$ einen $+/-$-Vorzeichenwechsel. | ... | ... |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. | ... | ... |
Aufgabe 1
Betätige die Schieberegler und untersuche: Was ändert sich? Was bleibt gleich?
Aufgabe 2
(a) Erkläre die Einträge in der 1. Spalte. Nutze dafür die vorgebenen Informationen über $f'(x) = 0$ (blauer Punkt) und $f''(x) \text{ < } 0$ (grüner Punkt).
Argumentiere auf die folgende Art: Da $f''(x) \text{ < } 0$, muss $f'(x)$ fallen. Da gleichzeitig $f'(x) = 0$, muss ...
(b) Ergänze die Einträge in der 2. Spalte.
(c) Warum kann man keine eindeutigen Aussagen in der 3. Spalte treffen? Erläutere mit Hilfe der Animation.
Aufgabe 3
Welche der Wenn-Dann-Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründe mit den Situationen in der Tabelle.
Aussage 1:
Wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
Aussage 2:
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt hat, dann gilt $f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$.
Aufgabe 4
Trage in der folgenden Übersicht die passenden hinreichenden Bedingungen für Hoch- und Tiefpunkte ein. Übersetze die Zeilen der Tabelle in sprachlich sinnvolle und mathematisch korrekte Sätze (z.B. so: "Wenn ..., dann folgt daraus, dass ...").
| Eigenschaften von $f'$ und $f''$ (hinreichende Bedingung) |
hieraus folgt | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|
| ... | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. |
| ... | $\Rightarrow$ | $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. |
$f'(x) = 0$ und $f''(x) \text{ < } 0$ $\Rightarrow$ $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
$f'(x) = 0$ und $f''(x) > 0$ $\Rightarrow$ $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
Aufgabe 5
Fülle die dritte Box des Wissensspeichers aus.
