Einstieg

Beobachtungen zum Grenzverhalten beim Tablet-Sharing-System

Hier noch einmal die Daten zum Tablet-Sharing-System aus dem letzten Kapitel.

Übergangsgraph	Übergangstabelle	Prozessmatrix
	von A von B von C zu A $0.8$ $0.1$ $0.3$ zu B $0.1$ $0.7$ $0.1$ zu C $0.1$ $0.2$ $0.6$	$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$

Die Experimente im letzten Kapitel haben u.a. gezeigt, dass man bei diesem Austauschprozess eine stabile Grenzverteilung erhält. Die folgende Tabelle verdeutlicht das anhand einer vorgegebenen Ausgangsverteilung.

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	$\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}\quad$ (Ausgangsverteilung)
$1$	$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \\ 80 \end{pmatrix}$
$2$	$\vec{v}_2 = P \cdot \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 120 \\ 90 \\ 90 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 132 \\ 84 \\ 84 \end{pmatrix}$
...	...
$n$	$\vec{v}_n = P \cdot \vec{v}_{n-1} \quad$ für $n \geq 1$
...	...
$\downarrow$
$\infty$	$\vec{v}_{\infty} = \begin{pmatrix} 150 \\ 75 \\ 75 \end{pmatrix} \quad$ (Grenzverteilung)

Die stabile Grenzverteilung erhält man sogar ausgehend von einer beliebigen Ausgangsverteilung.

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	$\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\quad$
$\downarrow$
$\infty$	$\vec{v}_{\infty} = \begin{pmatrix} 0.5 \cdot (a+b+c) \\ 0.25 \cdot (a+b+c) \\ 0.25 \cdot (a+b+c) \end{pmatrix} = (a+b+c) \cdot \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.25 \\ 0.25 \end{pmatrix}$

Wenn die Ausgangsverteilung relative Häufigkeiten angibt, dann erhält man folgende Grenzverteilung.

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	$\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\quad$ mit $a+b+c = 1$
$\downarrow$
$\infty$	$\vec{v}_{\infty} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.25 \\ 0.25 \end{pmatrix}$

Aufgabe 1

Erkläre die Ergebnisse in den tabellarischen Übersichten.