Erarbeitung

Matrixpotenzen bei der Berechnung von Verteilungsvektoren verwenden

Die Berechnung von Veteilungsvektoren wurde bisher rekursiv durchgeführt. Die folgende Übersicht zeigt, dass man bei der Berechnung auch anders vorgehen kann.

Schritte	Verteilungsvektor	rekursive Darstellung	Umformung	Potenzschreibweise
$0$	$\vec{v}_{0}$		$= E \cdot \vec{v}_{0}$	$= P^0 \cdot \vec{v}_{0}$
$1$	$\vec{v}_{1}$	$= P \cdot \vec{v}_{0}$	$= P \cdot \vec{v}_{0}$	$= P^1 \cdot \vec{v}_{0}$
$2$	$\vec{v}_{2}$	$= P \cdot \vec{v}_{1}$	$= P \cdot (P \cdot \vec{v}_{0}) = (P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}$	$= P^2 \cdot \vec{v}_{0}$
$3$	$\vec{v}_{3}$	$= P \cdot \vec{v}_{2}$	$= P \cdot ((P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}) = (P \cdot P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}$	$= P^3 \cdot \vec{v}_{0}$
...	...	...	...	...

Aufgabe 1

Erkläre die Umformungen in der Übersicht. Erläutere auch, welches Rechengesetz dabei benutzt wird.

Aufgabe 2

In der Übersicht werden Matrixpotenzen zur Darstellung der Verteilungsvektoren benutzt. Betrachte hier die Matrix $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$. Bestimme die Matrixpotenzen in der folgenden Tabelle. Für $P^{0}$ und $P^{1}$ ist keine Berechnung notwendig. Die Ergebnisse kannst du direkt in die Tabelle eintragen.

Matrixpotenz	Berechnung
$P^{0}$	$\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$
$P^{1}$	$\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$
$P^{2}$	$\begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$

Aufgabe 3

Beschreibe im folgenden Satz das Verfahren zur Bestimmung von Verteilungsvektoren mit einer Formel.

Den Prozess duchführen

Wir nutzen das Berechnungsverfahren mit Potenzen der Prozessmatrix, um Austauschprozesse zu simulieren. Das folgende Applet verdeutlich das an einem Beispiel mit relativen Verteilungunshäufigkeiten. Das Applet zeigt neben den erzielten Verteilungsvektoren auch die benutzen Matrixpotenzen an.

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster kann man die Prozessmatrix $P$ und Ausgangsverteilung $\vec{v}$ selbst eingeben. Mit dem Schieberegler kann man vorab die Dimension der Matrix und des Vektors einstellen.
• Im unteren Fenster kann man mit den Schaltflächen den Austauschprozess schrittweise simulieren. Dabei werden die jeweils erzielten Verteilungen und die benutzten Matrixpotenzen angezeigt.
• Beachte, dass im Applet gerundete Werte angezeigt werden.

Zum Herunterladen: matrixpotenzen1.ggb

Aufgabe 3

(a) Führe die Simulation für die vorgegebenen Daten (Prozessmatrix und Ausgangsverteilung) schrittweise durch. Beobachte, wie sich die Matrixpotenzen und die erzielten Verteilungsvektoren stabilisieren. Was fällt bei der erreichten Grenzmatrix auf?

(b) Variiere die relative Ausgangsverteilung (so, dass die Summe der Werte $1$ ergibt) und führe die Simulation erneut durch.

(c) Variiere die Prozessmatrix (so, dass sie einen Austauschprozess beschreibt) und führe die Simulation erneut durch.

Zusammenhänge formulieren

Wir bezeichnen die erreichte Grenzmatrix mit $P_{\infty}$. Die erreichte Grenzverteilung bezeichnen wir weiterhin mit $\vec{v}_{\infty}$. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der Experimente mit dem Applet.

Schritte	Potenzen der Prozessmatrix		rel. Ausgangsverteilung		erzielte Verteilungen
$0$	$P^{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$	$\cdot$	$\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\;\;$ mit $a+b+c = 1$	$=$	$\vec{v_0} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$
$1$	$P^{1} = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$	$\cdot$	$\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\;\;$ mit $a+b+c = 1$	$=$	$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix}$
$\downarrow$
$\infty$	$P_{\infty} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & 0.5 \\ 0.25 & 0.25 & 0.25 \\ 0.25 & 0.25 & 0.25 \end{pmatrix}$	$\cdot$	$\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\;\;$ mit $a+b+c = 1$	$=$	$\vec{v}_{\infty} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.25 \\ 0.25 \end{pmatrix}$

Aufgabe 4

Erläutere die Tabelle. Überprüfe mit einer Rechnung, ob für alle relativen Verteilungsvektoren mit $a+b+c = 1$ folgende Beziehung gilt:

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 & 0.5 \\ 0.25 & 0.25 & 0.25 \\ 0.25 & 0.25 & 0.25 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.25 \\ 0.25 \end{pmatrix}$

Aufgabe 5

Beschreibe den in der Tabelle zu erkennenden Zusammenhang im folgenden Satz.