Vertiefung
Zur Orientierung
Unklar ist noch, ob die Potenzen der Prozessmatrix zu einem Austauschprozess immer zu einer stabilen Grenzmatrix führen. Das wird in diesem Abschnitt geklärt.
Einen nicht-stabilen Austauschprozess konstruieren
Aufgabe 1
(a) Ergänze die Matrix $P$ so, dass sie die Elemente des Vektors vertauscht.
$\underbrace{\begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}}_{P} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$
(b) Begründe: Die Matrix $P$ kann man als Prozessmatrix für einen Austauschprozess nutzen.
Aufgabe 2
Nutze die in Aufgabe 1 konstruierte Matrix $P$ im folgenden Applet als Prozessmatrix $P$. Trage die Elemente der Matrix im entsprechenden Eingabefeld ein.
Beschreibe das wechselhafte
Verhalten des Austauschprozesses.
Warum gibt es hier keine stabile Grenzmatrix $P_{\infty}$?
Zum Herunterladen: matrixpotenzen3.ggb
Ein fundamentaler Satz über Austauschprozesse
Die Konstruktion des Austauschprozesses oben zeigt, dass es Austauschprozesse gibt, bei denen die Potenzen $P^{n}$ der Prozessmatix $P$ mit wachsenden Exponenten $n$ nicht zu einer stabilen Grenzmatrix $P_{\infty}$ führen.
Der folgende fundamentale Satz gibt ein Kriterium für ein stabiles Grenzverhalten von Austauschprozessen an. Wir geben diesen Satz hier ohne Nachweis nur wieder.
Grenzverhalten eines Austauschprozesses
Wenn in irgendeiner Potenz der Prozessmatrix $P$ alle Elemente von Null verschieden sind, dann existiert die Grenzmatrix $P_{\infty}$. Es gilt dann für jeden relativen Verteilungsvektor $\vec{v}$:
$\vec{v}_{\infty} = P_{\infty} \cdot \vec{v}$
Die Spaltenvektoren der Grenzmatrix $P_{\infty}$ stimmen mit dem Grenzverteilungsvektor $\vec{v}_{\infty}$ überein.
