Übungen - Grenzverhalten von Austauschprozessen

Aufgabe 1

Betrachte den im Simulationstool vorgegebenen Austauschprozess.

(a) Untersuche zunächst experimentell, ob die vorgegebene Ausgangsverteilung zu einer stabilen Grenzverteilung führt.

(b) Berechne einige Potenzen der betrachteten Prozessmatrix $P$. Was fällt auf?

Schritte	Potenzen der Prozessmatrix
$1$	$P^{1} = \cdots$
$2$	$P^{2} = \cdots$
$3$	$P^{3} = \cdots$
$4$	$P^{4} = \cdots$

(c) Gibt es Ausgangsverteilungen, die zu stabilen Grenzverteilungen führen? Tipp: Betrachte das Verhalten des Prozesses, wenn sich zu Beginn in jedem Zustand gleich viele Objekte befinden.

Aufgabe 2

Betrachte Austauschprozesse mit der Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix}$. Die Parameter $a$ und $b$ stehen hier für reelle Zahlen mit $0 \text{ < } a, b \text{ < } 1$.

Mit dem folgenden Applet kannst du das Grenzverhalten von solchen Austauschprozessen untersuchen. Gib hierzu die gewählten Werte der Matrix $P$ im hierfür vorgesehenen Eingabefeld ein. Mit [Schritt ausführen] werden Potenzen $P^i$ der Matrix berechnet und diese mit einem gewählten Verteilungsvektor multipliziert.

Zum Herunterladen: matrixpotenzen2.ggb

(a) Teste das Applet mit verschiedenen Werten für $a$ und $b$ sowie geeigneten Verteilungsvektoren (wie z.B. $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$). Dokumentiere und deute die Ergebnisse für mindestens zwei verschiedene Kombinationen von Werten für $a$ und $b$.

(b) Eine große Stadt mit ca. 1 Million Einwohnern wird von einem Fluss in zwei Hälften geteilt: links vom Fluss und rechts vom Fluss. Die Stadt beobachtet, dass in den letzten Jahre jährlich etwa $2 \%$ der Bevölkerung von der linken in die rechte Stadthälfte und ca. $1.5 \%$ von der rechten in die linke Stadthälfte umgezogen ist. Der Stadtrat möchte wissen, wie sich die Bevölkerungsanteile in diesen Stadthälften auf lange Sicht entwickelt, wenn der Trend weiterhin so bestehen bleibt. Erstelle für den Stadtrat eine Prognose.