Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel ist es, stabile Verteilungen bei Austauschprozessen rechnerisch zu bestimmen.
Stabile Verteilungen präzisieren
Bisher haben wir den Begriff stabile Verteilung
intuitiv benutzt.
Wir präzisieren diesen Begriff hier nachträglich unter Verwendung eines noch allgemeineren Begriffs.
Fixvektor
Ein Fixvektor zu einer quadratischen Matrix $P$ ist ein Vektor $\vec{v}$ mit der folgenden Eigenschaft:
$P \cdot \vec{v} = \vec{v}$
Aufgabe 1
Ergänze die folgende Präzisierung des Begriffs stabile Verteilung
.
Benutze dabei den Begriff Fixvektor
.
Stabile Verteilung
Ein stabiler Verteilungsvektor bei einem Austauschprozess mit der Prozessmatrix $P$ ...
Fixvektoren bei Austauschprozessen bestimmen
Wir betrachten als Beispiel für einen Austauschprozess das bekannte Sharing-System.
Problem:
Geg.: $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$
Ges.: $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ mit $P \cdot \vec{v} = \vec{v}$
Aufgabe 2
Die Bedingung $P \cdot \vec{v} = \vec{v}$ führt zu einem linearen Gleichungssystem. Ergänze die fehlenden Gleichungen.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 0.8 x & + & 0.1 y & + & 0.3 z & = & x \\ [2] &\quad \\ [3] &\quad \end{array}$
Aufgabe 3
Löse das Gleichungssystem selbst und deute die Lösungen.
Alternativ hierzu kannst du das LGS mit dem GeoGebra-CAS lösen.
Ergänze die Deutung des von GeoGebra gelieferten Ergebnisses:
- Das Ergebnis $z = z$ bedeutet, dass man für $z$ eine beliebige reelle Zahl $r$ wählen kann.
- Das Ergebnis $y = z$ bedeutet, dass dann $y = r$ gilt.
- Das Ergebnis $x = 2z$ bedeutet, dass dann ... gilt.
Begründe: Insgesamt erhält man $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2r \\ r \\ r \end{pmatrix}$ mit einer beliebigen reellen Zahl $r$.
