Vertiefung
Zur Orientierung
Unklar ist noch, wie viele stabile Verteilungen ein Austauschprozess haben kann. Das wird in diesem Abschnitt geklärt.
Fixvektoren betrachten
Im letzten Abschnitt hast du die Fixvektoren zur Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$ bestimmt.
Das sind alle Vektoren $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2r \\ r \\ r \end{pmatrix}$ mit einer beliebigen reellen Zahl $r$.
Aufgabe 1
(a) Es gibt also unendlich viele stabile Verteilungen zur Prozessmatrix $P$. Gibt mindestens $3$ Beispielverteilungen an.
(b) Die Schulleitung hat sich entschlossen, ihr Sharing-System mit der Prozessmatrix $P$ mit $400$ ausleihbaren Tablets zu betreiben. Wie sollte sie die Tablets auf die Stationen A, B, und C verteilen, so dass jeden Tag die gleiche Anzahl an Tablets an den Stationen ausleihbar ist?
Aufgabe 2
(a) Begründe mit den Rechenregeln für Matrizen den folgenden Zusammenhang.
Fixvektoren
Wenn $\vec{v}$ ein Fixvektor zu einer quadratischen Matrix $A$ ist, dann ist auch jedes Vielfache $r \cdot \vec{v}$ ein Fixvektor zur Matrix $A$.
(b) Was bedeutet das für die stabilen Verteilungen bei Austauschprozessen? Erläutere kurz.
Grenzverteilungen betrachten
Kann es bei einem Austauschprozess mit der Prozessmatrix $P$ zwei stabile Verteilungen $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ (mit gleicher Summe der Elemente) geben, die keine Vielfache voneinander sind?
Nach dem Satz über die Konvergenz von Austauschprozessen gilt: Wenn bei einem Austauschprozess die Grenzmatrix $P_{\infty}$ existiert, dann gibt es zu jeder Ausgangsverteilung $\vec{v}_{0}$ eine eindeutig bestimmte Grenzverteilung $\vec{v}_{\infty}$ mit
$\vec{v}_{\infty} = P_{\infty} \cdot \vec{v}_{0}$.
Aufgabe 3
Nutze diese Aussage, um zu zeigen, dass stabile Verteilungen bei Austauschprozessen bis auf Vielfache eindeutig bestimmt sind.
