Übungen - Stabile Verteilungen
Aufgabe 1
Überprüfe jeweils, ob $\vec{v}$ ein stabiler Verteilungsvektor zur Prozessmatrix $P$ ist.
| Prozessmatrix | Verteilungsvektor | Rechnung | stabil? (j/n) |
|---|---|---|---|
| $P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \\ 0.5 & 0.8 \end{pmatrix}$ | $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ | $P \cdot \vec{v} = \dots$ | ... |
| $P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \\ 0.5 & 0.8 \end{pmatrix}$ | $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2/7 \\ 5/7 \end{pmatrix}$ | $P \cdot \vec{v} = \dots$ | ... |
| $P = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 & 1 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ | $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $P \cdot \vec{v} = \dots$ | ... |
| $P = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 & 1 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ | $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ | $P \cdot \vec{v} = \dots$ | ... |
| $P = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.25 & 0 \\ 0.5 & 0.5 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ | $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ | $P \cdot \vec{v} = \dots$ | ... |
Aufgabe 2
(a) Betrachte die Einheitsmatrix als Prozessmatrix – also $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Begründe: Jeder Verteilungsvektor $\vec{v}$ ist ein stabiler Verteilungsvektor zu dieser Prozessmatrix $P$.
(b) Betrachte die Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
Begründe: Nur Verteilungsvektoren $\vec{v} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit gleicher Objekthäufigkeit für die Zustände sind stabile Verteilungsvektoren zu dieser Prozessmatrix $P$.
(c) Untersuche, ob es analoge Ergebnisse für die Prozessmatrizen $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ und $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ gibt.
Aufgabe 3
(a) Ein Austauschprozess wird mit der Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \end{pmatrix}$ beschrieben. Bestimme die stabilen Verteilungsvektoren zu diesem Austauschprozess.
(b) Ein Austauschprozess wird mit der Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} 0 & 0.2 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 & 0 \\ 0.8 & 0 & 0.8 \end{pmatrix}$ beschrieben. Bestimme die stabilen Verteilungsvektoren zu diesem Austauschprozess.
Aufgabe 4
Betrachte den Migrationsprozess aus Aufgabe 3 auf der Seite .... Das Simulationstool ProSiTo zeigt u.a. die Prozessmatrix $P$ zu diesem Prozess.
Bestimme die stabilen Verteilungen (absolut und relativ) zu diesem Austauschprozess.
Aufgabe 5
Betrachte noch Austauschprozesse mit genau $2$ Zustände, die mit einer Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix}$ beschrieben werden können. Die Parameter $a$ und $b$ stehen hier für reelle Zahlen mit $0 \text{ < } a, b \text{ < } 1$.
Mit dem folgenden GeoGebra-Applet kann man herausfinden, dass es für solche Austauschprozesse stabile Verteilungen gibt.
Zum Herunterladen: matrixpotenzen2.ggb
(a) Betrachte als Beispiel die Parameterwerte $a = 0.6$ und $b = 0.8$. Bestimme mit dem Applet eine stabile Verteilung beginnend mit der Ausgangsverteilung $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0.75 \\ 0.75 \end{pmatrix}$.
(b) Bestimme für die Parameterwerte $a = 0.6$ und $b = 0.8$ rechnerisch die stabilen Verteilungen zur Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix}$. Stelle hierzu eine Vektorgleichung auf und löse das zugehörige lineare Gleichungssystem.
(c) Zeige ganz allgemein, dass $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1-b \\ 1-a \end{pmatrix}$ eine stabile Verteilung zur Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix}$ ist. Berechne hierzu:
$\begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1-b \\ 1-a \end{pmatrix} = \dots$
(d) Leite allgemein her, dass jedes Vielfache von $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1-b \\ 1-a \end{pmatrix}$ eine stabile Verteilung zur Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix}$ ist. Bestimme hierzu die Lösungen der folgenden Vektorgleichung.
$\begin{pmatrix} a & 1-b \\ 1-a & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
