Erarbeitung
Zielsetzung
Zum Lösen eines LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen soll folgende Strategie umgesetzt werden: Das LGS wird in ein LGS in Stufenform umgeformt. Danach kann man es schrittweise nach den Variablen auflösen.
Ein LGS-Umformungstool verwenden
Zur Durchführung der Strategie ein vorgegebenes LGS in Stufenform umwandeln
verwenden wir das folgende LGS-Umformungstool.
Anleitung für das LGS-Umformungstool
- Ein zu bearbeitendes LGS ist bereits vorgegeben. Mit [System bearbeiten] kann man das zu bearbeitende LGS verändern oder neu eingeben. Belasse das LGS hier so wie vorgegeben.
- Das LGS wird hier in der Gleichungsansicht gezeigt. Mit [Tabelle] kann man in eine Tabellenansicht wechseln. Beachte, dass in der Gleichungsansicht eine Gleichung wie z.B. $x_1 + 2x_2 - x3 = 0$ additiv und jeweils mit Vorfaktoren in der Form $1x_1 + 2x_2 + (-1)x_3 = 0$ dargestellt wird.
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Das Tool bietet mit den Schaltflächen [Addieren], [Multiplizieren] und [Tauschen] mehrere Möglichkeiten zur Umformung bzw. Transformation
eines LGS an. Ein transformierte LGS wird als
transformiertes System
angezeigt. Die Veränderungen gegenüber dem Ausgangssystem werden dabei rot hervorgehoben. Wenn die Transformation den gewünschten Effekt hat, kann man mit [Übernehmen] das transformierte LGS zum neuen Ausgangs-LGS machen. -
Im
Verlauf
werden die durchgeführten Transformationen in einer Kurzschreibweise mitprotokolliert. Mit [Rückgängig] und [Wiederholen] kann man die durchgeführten Umformungsschritte noch einmal nachvollziehen.
Aufgabe 1
Teste zunächst die Umformungen und beschreibe, was sie bewirken. Das umgeformte bzw. transformierte LGS wird jeweils angezeigt und kann dann übernommen werden.
Aufgabe 2
Stelle nochmal das vorgegebene LGS ein (mit [Rückgängig] oder durch ein Neuladen der Webseite).
(a) Nutze [Addieren] mit geeigneten Einstellungen, um in einem ersten Schritt die folgende Umformung vorzunehmen:
$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot 3$
Warum ist dieser erste Schritt günstig, wenn man das LGS in Stufenform bringen will? Erläutere kurz.
(b) Nutze weitere analoge Umformungen, um das LGS in Stufenform zu bringen.
(c) Wenn du es geschafft hast, das LGS in Stufenform zu bringen, dann bestimme auch die Lösung des LGS. Mache zur Kontrolle eine Probe. Setze hierzu die Lösungsergebnisse in die Gleichungen des vorgegebenen LGS ein.
Aufgabe 3 (für Experten)
Wenn man ein LGS in Stufenform erzielt hat, dann kann man es mit dem LGS-Umformungstool weiter umformen, bis ein LGS in Diagonalform vorliegt. Probiere das aus.
