Zusammenfassung - Gauß-Verfahren
Ein LGS systematisch lösen
Wenn man ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) mit vielen Gleichungen und vielen Variablen lösen möchte, dann sollte man dabei systematisch vorgehen, um den Überblick nicht zu verlieren. Das Gauß-Verfahren bzw. Gaußsches-Eliminationsverfahren (benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren, mit dem man beliebige lineare Gleichungssysteme systematisch lösen kann. Dieses Verfahren ist ein algorithmisches Verfahen – das heißt, es kann von einem Computer durchgeführt werden. Jedes Computeralgebrasystem benutzt ein solches algorithmisches Verfahren beim Lösen von linearen Gleichungssystemen.
Die Grundidee des Gauß-Verfahrens
Gauß-Verfahren
Man löst ein vorgegebenes LGS in Rechteckform, indem man es mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandelt. In der Stufenform verringert sich die Anzahl der Variablen zeilenweise um mindestens eins. Das LGS in Stufenform lässt sich dann schrittweise nach den verbliebenen Variablen rückwärts auflösen.
Phase 1: Ein LGS in Stufenform umwandeln
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Rechteckform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 9x_2 & + & (-2)x_3 & = & -1 \\ [2] &\quad 2x_1 & + & 4x_2 & + & (-2)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 3 & 9 & -2 & -1 \\ [2] &\quad 2 & 4 & -2 & 0 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen | $\dots$ | $\dots$ |
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
Phase 2: Die Gleichungen des LGS in Stufenform nach den Variablen auflösen
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
| rückwärts auflösen | $\dots$ | $\dots$ |
| Lösung des LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & & & & & = & 4 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ |
Wenn man ein LGS beim Lösen umformt, dann darf sich dabei die Lösungsmenge nicht verändern. Umformungsschritte, die diese Bedingung erfüllen, nennt man Äquivalenzumformungen.
Äquivalenzumformungen eines LGS
Die folgenden Umformungen eines LGS sind Äquivalenzumformungen und verändern somit die Lösungsmenge des LGS beim Umformen nicht:
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
- eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren
- eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich 0 hinzuaddieren
Beachte, dass sich die letztgenannte Umformung aus den beiden ersten zusammensetzt. Beachte auch, dass es weitere Äquivalenzumformungen gibt wie z.B.: eine Gleichung von einer anderen subtrahieren. Das Vertauschen von Zeilen benötigt man zum Lösen eines LGS nicht. Es ist aber zweckmäßig um die Stufenform auch optisch in Stufen darzustellen.
Beispiel – ein LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen
Von der Rechteckform zur Stufenform
Zunächst wird ein vorgegebenes LGS, das in Rechteckform vorliegen kann, schrittweise mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine Stufenform transformiert.
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Rechteckform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 9x_2 & + & (-2)x_3 & = & -1 \\ [2] &\quad 2x_1 & + & 4x_2 & + & (-2)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 3 & 9 & -2 & -1 \\ [2] &\quad 2 & 4 & -2 & 0 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftrightarrow [2]$ | $[1] \leftrightarrow [2]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & 4x_2 & + & (-2)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 9x_2 & + & (-2)x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 2 & 4 & -2 & 0 \\ [2] &\quad 3 & 9 & -2 & -1 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftarrow [1] \cdot 1/2$ | $[1] \leftarrow [1] \cdot 1/2$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 9x_2 & + & (-2)x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 3 & 9 & -2 & -1 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (-3)$ | $[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (-3)$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot 4$ | $[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot 4$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & 3x_2 & + & 3x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 3 & 3 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[3] \leftarrow [3] + [2] \cdot (-1)$ | $[3] \leftarrow [3] + [2] \cdot (-1)$ |
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
Auflösen einer Stufenform
Das zum vorgegebenen LGS äquivalente in Stufenform kann jetzt schrittweise nach den Variablen aufgelöst werden.
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ |
| $[3]$ nach $x_3$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_3 & = & 2 \end{array}$ |
| $x_3$ in $[2]$ einsetzen und $[2]$ nach $x_2$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_2 & = & -1 \end{array}$ |
| $x_2$ und $x_3$ in $[1]$ einsetzen und $[1]$ nach $x_1$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_1 & = & 4 \end{array}$ |
| Lösung des LGS | $(x_1; x_2; x_3) = (4; -1; 2)$ |
Rückwärtsauflösen mit Äquivalenzumformungen
Das Rückwärtsauflösen eines LGS in Stufenform lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Äquivalenzumformungen durchführen. Das so erweiterte Umformungsverfahren wird dann Gauß-Jordan-Verfahren genannt.
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
| Auflösen nach $x_3$ | $[3] \leftarrow [3] \cdot \frac{1}{2}$ | $[3] \leftarrow [3] \cdot \frac{1}{2}$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_3$ in $[2]$ | $[2] \leftarrow [2] + [3] \cdot (-1)$ | $[2] \leftarrow [2] + [3] \cdot (-1)$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & & & = & -3 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 0 & -3 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Auflösen nach $x_2$ | $[2] \leftarrow [2] \cdot \frac{1}{3}$ | $[2] \leftarrow [2] \cdot \frac{1}{3}$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 1 & 0 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_3$ in $[1]$ | $[1] \leftarrow [1] + [3]$ | $[1] \leftarrow [1] + [3]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & & & = & 2 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & 0 & 2 \\ [2] &\quad 0 & 1 & 0 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_2$ in $[1]$ | $[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot (-2)$ | $[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot (-2)$ |
| LGS in Diagonalform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & & & & & = & 4 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 0 & 0 & 4 \\ [2] &\quad 0 & 1 & 0 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
