Erarbeitung
Zur Orientierung
Im letzten Absatz wurden die möglichen Lösungsmengen, die beim Lösen eines LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen auftreten, ausgehend vom Gauß-Verfahren entwickelt. In diesem Absatz gehen wir analog bei linearen Gleichungssystemen mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen vor. Ziel ist es, auch für solche LGSe die mögliche Anzahl von Lösungen zu bestimmen.
Situationen beim Gauß-Verfahren analysieren
Betrachte die linearen Gleichungssysteme in den folgenden Beispielen.
Beispiel 1
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| rückwärts auflösen |
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| Lösung(en) |
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Beispiel 2
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| rückwärts auflösen |
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| Lösung(en) |
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Beispiel 3
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| rückwärts auflösen |
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| Lösung(en) |
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Beispiel 4
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & -1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| rückwärts auflösen |
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| Lösung(en) |
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Aufgabe 1
Führe jeweils die angegebenen Äquivalenzumformungen durch. Es entsteht dann jeweils ein LGS in Stufenform. Bei Bedarf kannst du das LGS-Umformungstool unten verwenden.
Aufgabe 2
Aus der Stufenform kann man jetzt jeweils die Gesamtheit der Lösungen bestimmen. Hier die Ergebnisse – ohne Zuordnung zu den Beispielen.
- Es gibt unendlich viele Lösungen: $(x_1; x_2; x_3) = (x_2 + x_3 +1; x_2; x_3)$ mit beliebigen reellen Zahlen $x_2$ und $x_3$.
- Es gibt keine Lösungen.
- Es gibt unendlich viele Lösungen: $(x_1; x_2; x_3) = (2x_3; x_3-1; x_3)$ mit einer beliebigen reellen Zahl $x_3$.
- Es gibt genau eine Lösung: $(x_1; x_2; x_3) = (4; 1; 2)$.
Ordne den Beispielen die korrekte Beschreibung der Lösungsmenge zu. Begründe jeweils und leite ggf. die Beschreibung durch Rückwärtsauflösen her.
Aufgabe 3
Wie viele Lösungen kann ein LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen haben? Formuliere einen zusammenfassenden Satz.
Lösungsmengen eine LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen
Ein LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen ...
