Überprüfung - Zyklische Prozesse

Aufgabe 1

Der Übergangsgraph zeigt ein Populationsentwicklungsmodell, bei dem in den Knoten auch bereits die Ausgangspopulation angegeben ist.

(a) Hast du das Populationsentwicklungsmodell verstanden? Ergänze hierzu die fehlenden Angaben.

• So viele Individuen befinden sich nach $1$ Simulationsschritt im Zustand A:
• So viele Individuen befinden sich nach $1$ Simulationsschritt im Zustand B:
• So viele Individuen befinden sich nach $1$ Simulationsschritt im Zustand C:
• So viele Individuen befinden sich nach $3$ Simulationsschritt im Zustand C:

(b) Beschreibe die Populationsentwicklung mit einer Prozessmatrix. Ergänze hierzu die Einträge in der folgenden Gleichung.

$\begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 20 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$

(c) Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Populationsverteilung nach $3$ Schritten beginnend mit der Ausgangsverteilung $\vec{v}_0$ und der Prozessmatrix $P$? Gib jeweils w (für wahr) oder f (für falsch) in das Eingabefeld ein.

(d) Ändere das Populationsmodell so ab, dass $P^3 \cdot \vec{v}_{0} = \frac{1}{2}\vec{v}_{0}$ gilt. Gib zwei verschiedene Versionen an.

Zur Kontrolle

Es muss $a \cdot b \cdot c = \frac{1}{2}$ gelten.

Z.B.: $a = 5; b = 0.5; c = 0.2$

Z.B.: $a = 10; b = 0.5; c = 0.1$

(e) Was bedeutet es, wenn für das Populationsmodell $P^3 \cdot \vec{v}_{0} = \frac{1}{2}\vec{v}_{0}$ gilt? Beurteile die folgenden Aussagen.