Vertiefung - Inverse $2 \times 2$-Matrizen
Zur Orientierung
Zielsetzung
Ziel ist es genauer zu untersuchen, welche $2 \times 2$-Matrizen invertierbar sind und wie ggf. die zugehörigen inversen Matrizen gebildet werden.
Eine inverse Matrix bestimmen
Wir bearbeiten zunächst folgende Problemstellung:
Problem:
Geg.: $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
Ges.: $A^{-1} = \begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}$
Folgende Matrixgleichung muss dann erfüllt sein.
$\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}}_{A^{-1}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E}$
Wenn man das Matrixprodukt bildet, ergeben sich $4$ Gleichungen.
| LGS 1 | LGS 2 |
|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x & + & 4y & = & 1 \\ [2] &\quad x & + & 3y & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \\ [4] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \end{array}$ |
Aufgabe 1
(a) Ergänze die fehlenden Teile in den Gleichungen $[3]$ und $[4]$.
(b) Warum ist es sinnvoll, die 4 entstehenden Gleichungen $[1]$, ..., $[4]$ in 2 Blöcke aufzuteilen? Begründe.
(c) Löse das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen $[1]$ und $[2]$ besteht.
(d) Löse auch das Gleichungssystem, das aus den Gleichungen $[3]$ und $[4]$ besteht.
(e) Kontrolliere, ob $A^{-1} = \begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}$ mit den ermittelten Werten für $x$, ..., $v$ tatsächlich die inverse Matrix zu $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ist.
Eine Formel für inverse Matrizen herleiten
Betrachte folgende verallgemeinerte Problemstellung:
Problem:
Geg.: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Geg.: $A^{-1} = \begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}$
Folgende Matrixgleichung muss dann erfüllt sein.
$\underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}}_{A^{-1}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{E}$
Wenn man das Matrixprodukt bildet, ergeben sich $4$ Gleichungen.
| LGS 1 | LGS 2 |
|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ax & + & by & = & 1 \\ [2] &\quad cx & + & dy & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \\ [4] &\quad \dots & + & \dots & = & \dots \end{array}$ |
Wir betrachten das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen $[1]$ und $[2]$.
| Bestimmung von $x$ | Bestimmung von $y$ |
|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ax & + & by & = & 1 \\ [2] &\quad cx & + & dy & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ax & + & by & = & 1 \\ [2] &\quad cx & + & dy & = & 0 \end{array}$ |
| Multipliziere $[1]$ mit $d$ und $[2]$ mit $-b$. | Multipliziere $[1]$ mit $-c$ und $[2]$ mit $a$. |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad adx & + & bdy & = & d \\ [2] &\quad -bcx & - & bdy & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -acx & - & bcy & = & -c \\ [2] &\quad acx & + & ady & = & 0 \end{array}$ |
| Addiere $[1]$ und $[2]$. | Addiere $[1]$ und $[2]$. |
| $adx - bcx = d$ | $-bcy + ady = -c$ |
| Klammere $x$ aus. | Klammere $y$ aus und vertausche in der Klammer. |
| $x(ad - bc) = d$ | $y(ad - bc) = -c$ |
| Dividiere durch $ad - bc$. Vor.: $ad - bc \neq 0$ | Dividiere durch $ad - bc$. Vor.: $ad - bc \neq 0$ |
| $x = \displaystyle{\frac{d}{ad - bc}}$ | $y = \displaystyle{\frac{-c}{ad - bc}}$ |
Aufgabe 2
(a) Erkläre jeden Schritt in der Herleitung der Formeln für $x$ und $y$.
(b) Leite analog Formeln für $u$ und $v$ her. Benutze die Gleichungen $[3]$ und $[4]$.
(c) In der Herleitung der Formeln für $x$, $y$, $u$ und $v$ wird jeweils vorausgesetzt, dass die Bedingung $ad - bc \neq 0$ erfüllt ist. Was ist, wenn tatsächlich $ad - bc = 0$ gilt? Betrachte als Beispiel die Matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Zeige, dass für diese Matrix keine inverse Matrix existiert.
Das Ergebnis formulieren
Eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist genau dann invertierbar, wenn die Bedingung $ad - bc \neq 0$ erfüllt ist.
Wir führen für diese Bedingung eine neue Schreibweise ein.
Deterimnante
Unter der Determinate einer $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ versteht man den Ausdruck $ad - bc$.
Kurz: $det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
Aufgabe 3
Formuliere das Ergebnis der Untersuchungen.
Inverse einer $2 \times 2$-Matrix
Eine $2 \times 2$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist genau dann invertierbar, wenn ...
Für die inverse Matrix $A^{-1}$ gilt dann:
$A^{-1} = \dots$
Ausblick
In diesem Abschnitt haben wir ausschließlich $2 \times 2$-Matrizen betrachtet. Offen bleibt die Frage, wie man die inverse Matrix bei größeren quadratischen Matrizen bestimmt. Das wird u.a. Gegenstand des nächsten Kapitels sein.
