Station - Kommutativgesetze

Zur Orientierung

Wenn man Zahlen miteinander multipliziert, dann kann man die Reihenfolge der beiden Zahlen vertauschen. Es gilt z.B. $2 \cdot 5 = 5 \cdot 2$. Allgemein beschreibt man diesen Sachverhalt mit dem Kommutativgesetz: Für beliebige (reelle) Zahlen $a$ und $b$ gilt $a \cdot b = b \cdot a$.

Aufgabe 1

(a) Betrachte das folgende Matrixprodukt $A \cdot B$:

$ \underbrace{\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}}_{A} \quad\cdot\quad \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3\\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}}_{B} $

Begründe, dass das umgekehrte Produkt $B \cdot A$ nicht definiert ist.

(b) Formuliere eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit sowohl $A \cdot B$ als auch $B \cdot A$ definiert ist. Erläutere in diesem Zusammenhang auch den Begriff quadratische Matrix.

Aufgabe 2

Untersuche, ob das Kommutativgesetz für die Multiplikation quadratischer Matrizen gilt. Betrachte z.B. die beiden folgenden Matrizen:

$\underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & -1 \end{pmatrix} }_{B} = \dots$

$\underbrace{ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & -1 \end{pmatrix} }_{B} \cdot \underbrace{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} }_{A} = \dots$

Aufgabe 3

Fasse die Ergebnisse dieses Abschnitts kurz zusammen.