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Funktionsuntersuchungen

Dieses Kapitel ermöglicht einen ersten Einblick in Fragestellungen bei Funktionsuntersuchungen.
Zudem werden in diesem Kapitel erste zentrale Begriffe eingeführt, die in den weiteren Kapiteln eine tragende Rolle spielen.
Die Begriffsklärungen werden auf zwei unterschiedlichen Ebenen vorgenommen: Auf einer inhaltlichen Ebene werden die Begriffe anhand einer Beispielfunktion anschaulich erläutert. Auf einer formalen Ebene werden die Begriffe dann zudem mit Definitionen präzise festgelegt. Für die weitere Arbeit im Grundfach reicht das inhaltliche Verständnis. Das Lernmaterial bietet hier aber eine gute Gelegenheit, um Aufbau und Relevanz von mathematischen Definitionen zu thematisieren.

Nullstellen von Funktionen spielen eine wichtige Rolle bei Funktionsuntersuchen. Ziel dieses Kapitels ist es, Verfahren zur Nullstellenbestimmung bereitzustellen.
Bei einfachen Funtionen (wie z.B. linearen und quadratischen Funktionen) kann man die Nullstellen rechnerisch bestimmen. Hierbei werden Verfahren angewandt, die bereits in der Sekundarstufe I behandelt wurden. Im Kapitel Nullstellen von Funktionen werden diese Verfahren noch einmal wiederholend reaktiviert.
Bei komplexeren Funktionen nutzt man – wenn möglich – die Faktorisierungsstrategie, um den Funktionsterm in ein Produkt aus einfachen Teiltermen umzuwandeln. Diese Strategie sollte im Unterricht thematisiert und eingeübt werden.
Wenn die Faktorisierungsstrategie nicht direkt anwendbar ist, dann können die Nullstellen einer Funktion automatisiert mit geeigneten Tools ermittelt werden. Wir stellen an passenden Stellen immer wieder solche Tools zur Verfügung.

Die Bestimmung lokaler Extrema spielt bei Optimierungsproblemen eine zentrale Rolle. In diesem Kapitel werden die fachlichen Grundlagen hierfür erarbeitet. Dabei stehen Beziehungen zwischen Ausgangsfunktion und ihrer Ableitungsfunktion im Vordergrund. Der Anwendungsaspekt wird als inhaltliche Motiviation für diese Untersuchungen genutzt, systematisch erarbeitet wird er aber erst in einem weiteren Kapitel.
Bei der Durchdringung der Zusammenhänge spielen logische Wenn-Dann-Beziehungen eine wichtige Rolle. Das Kapitel bietet die Möglichkeit, diese auch im Alltag allgegenwärtigen Beziehungen fokussiert zu thematisieren und zu reflektieren. Der Exkurs - Wenn-Dann-Aussagen liefert hierfür passendes Material.
Die Applets zur Erkundung von Zusammenhängen sind jeweils so konzipiert, dass sie die zu erschließenden logischen Beziehungen berücksichtigen. Wenn z.B. das Vorzeichenwechselkriterium erschlossen werden soll, dann ist zunächst nur die Information über die Ableitungsfunktion in der Umgebung von kritischen Stellen zu sehen. Nach und nach kann hieraus neue Information erschlossen und im Applet dann auch angezeigt werden.
Die Argumentationen basieren auf inhaltlichen und anschauungsgebundenen Begründungen. Das ist im Grundfach angebracht. Fundiertere Überlegungen (wie z.B. der Monotoniesatz) werden punktuell als Vertiefungen ausgewiesen und können im Grundfach bei wenig zur Verfügung stehender Zeit übergangen werden.

In diesem Kapitel geht es um Krümmungseigenschaften von Funktionsgraphen. Dabei steht die inhaltliche Deutung im Vordergrund. Mit den Charakterisierungen beschleunigtes Wachstum, gebremstes Wachstum, beschleunigter Zerfall und gebremster Zerfall wird eine Verständnisgrundlage gelegt, die anschließend mit den Fachbegriffen linksgekrümmter Graph und rechtsgekrümmter Graph präzisiert wird.
Die gängigen Fachbegriffe Linkskrümmung und Rechtskrümmung verleiten dazu, Funktionsgraphen als Kurven zu deuten, auf die man von oben draufschauen kann. Diese Sichtweise wird hier nicht gefördert, da sie nicht zur funktionalen Deutung passt. Besser geeignet wären die Sprechweisen nach oben gekrümmt und nach unten gekrümmt, um Änderungen des Steigungsverhaltens bei gekrümmten Graphen widerzuspielgeln – diese haben sich aber nicht etabliert.
Der Zugang zu Krümmungseigenschaften von Funktionsgraphen erfolgt mit Applets, bei denen Wachstumsprozesse in Phasen eingeteilt werden. Hier wird ein intuitives Verständnis von beschleunigten und gebremsten Vorgängen ausgenutzt.
Die Präzisierung der Krümmungseigenschaften erfolgt ausgehend von diesen ersten Erfahrungen in mehreren Etappen.
Dabei wird auch das Fachkonzept Wendepunkt eingeführt. Die Verknüpfung von beschleunigten und gebremsten Vorgängen führt direkt zu den 4 prototypischen Krümmungswendungen.

Dieses Kapitel setzt die Beschäftigung mit Krümmungseigenschaften bei Funktionsgraphen fort. Im Zentrum stehen Kriterien und Verfahren, um Wendestellen zu bestimmen und Krümmungseigenschaften nachzuweisen.
Ausgangspunkt ist der fundamentale Zusammenhang, dass die Wendestellen der Ausgangsfunktion den Extremstellen der zugehörigen Ableitungsfunktion entsprechen. Dieser Zusammenhang ermöglicht es, die Kriterien für Extremstellen direkt auf Wendestellen zu übertragen.

Für den schnellen Nachweis von Extrem- und Wendestellen benutzt man sehr oft Kriterien mit höheren Ableitungen. Hier ist nur eine punktuelle Berechnung von Ableitungen erforderlich anstatt einer Umgebungsanalyse bei der Verwendung von Vorzeichenwechselkriterien.
Die Kriterien mit höheren Ableitungen werden oft rein schematisch angewandt. Das ist in Anwendungssituationen sicher auch sinnvoll. Den Fokus in diesem Kapitel liegt aber eher auf einem verständnisbasierten Erschließen der Kriterien. Hierbei stehen Zusammenhänge zwischen einer Ausgangsfunktion und mehreren Ableitungsfunktionen im Mittelpunkt der Überlegungen. Der Wechsel zwischen diesen verschiedenen Funktionen fördert gezielt die Vertiefung des Ableitungskonzepts.
Die Überlegungen werden dabei – wie in den anderen Kapiteln auch – von Applets unterstützt. Das zentrale Applet erlaubt es, Information gemäß dem aktuellen Erkenntnisstand nach und nach einzublenden. Hierdurch können Argumentationsketten transparent gestaltet werden.