Betrachte eine Linearkombination der Eigenvektoren wie z.B.:

$\vec{v}_0 = 3 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} + 1 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2} = \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \end{pmatrix}$.

Es gilt:

$\vec{v}_i = 3 \cdot \underbrace{2^{i}}_{\lambda_1^{i}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} + 1 \cdot \underbrace{(-0.4)^{i}}_{\lambda_2^{i}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2}$

Da $(-0.4)^{i} \rightarrow 0$ für $i \rightarrow \infty$, erhält man:

$\vec{v}_i \quad \underbrace{\approx}_{i \rightarrow \infty} \quad \underbrace{2^{i}}_{\lambda_1^{i}} \cdot 3 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1}$.

Auf lange Sicht wächst die Population hier nahezu exponentiell mit dem Wachstumsfaktor $2$. Der domenante Eigenwert $\lambda_1 = 2$ bestimmt also das langfristige Verhalten bei der gewählten Ausgangsverteilung. Dieser Sachverhalt gilt entsprechend für alle Ausgangsverteilungen, die sich als Linearkombination der beiden Eingenvektoren darstellen lassen.