Erarbeitung
Zur Orientierung
Wenn man beim Virtual Fencing die Weidefläche kreisförmig vorgibt, dann muss das Überwachungssystem im Halsband der Tiere aus den Positionsdaten der Tiere berechnen, ob sie sich noch in der vorgegebenen Kreisfläche befinden bzw. ob sie die Grenze überschreiten wollen. Ziel ist es hier, diese Berechnungen selbst durchzuführen.
Kreise vektoriell beschreiben
Im folgenden Applet wird das Virtual Fencing mit Kreisflächen simuliert. Im linken Fenster kann man Daten zur Beschreibung der Kreisfläche eingeben. Im rechten Fenster kann man einen Punkt $X$ (der die Position einer Kuh beschreibt) auf der Weidefläche hin und her bewegen. Teste zunächst das Applet und bearbeite anschließend die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: vzaun2d.ggb
Aufgabe 1
Betrachte ein Virtual Fencing mit den voreingestellten Daten $M(2|1)$ und $r = 3$.
(a)
Die Kuh befindet sich an der Position $X(4|3)$ bzw. $X(5|2)$.
Führe die Berechnungen zum Virtual Fencing selbst durch und gib der Kuh jeweils eine Rückmeldung
.
(b) Die Kuh befindet sich an einer Position $X$. Beschreibe die durch $M$ und $r$ festgelegte Kreislinie $k$ mit Hilfe der Ortsvektoren $\vec{m}$ und $\vec{x}$ der betreffenden Punkte.
Kreise mit Koordinatengleichungen beschreiben
Das Display zur Eingabe von $M$ und $r$ streikt mal wieder. In einer Befehlszeile kann man (zum Glück) den gewünschten Kreis mit einer Koordinatengleichung beschreiben: Ein Punkt liegt auf dem Kreis genau dann, wenn seine Koordinaten die zum Kreis passende Gleichung erfüllen.
Zum Herunterladen: vzaun2d1.ggb
Aufgabe 2
(a) Betrachte die im Applet vorgegebene Kreisgleichung. Erkläre, warum diese Gleichung den angezeigten Kreis beschreibt.
(b) Landwirt(in) L. will, dass ihre Kühe sich im Kreis mit dem Mittelpunkt $M(-2|1)$ und $r = 4$ aufhalten. Beschreibe den Kreis mit einer passenden Kreisgleichung und überprüfe sie im Applet.
(c) Landwirt(in) S. gibt in der Befehlszeile die Gleichung $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 12 = 0$ ein. Erkläre, warum diese Gleichung einen Kreis beschreibt.
Ergebnisse zusammenfassen und sichern
Aufgabe 3
Ergänze den folgenden Satz zur Beschreibung von Kreisen mit Vektor- und Koordinatengleichungen.
Algebraische Beschreibung von Kreisen
Ein Punkt $X(x_1|x_2)$ (mit dem Ortsvektor $\vec{x}$) liegt auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt $M(m_1|m_2)$ (mit dem Ortsvektor $\vec{m}$) und dem Radius $r$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
- Kreisgleichung in Vektorform (VF):
$k: \dots$ - Kreisgleichung in Koordinatenform (KF):
$k: \dots$