Zusammenfassung – Kreis- und Kugelgleichung
Zielsetzung
Zur Verdeutlichung der Zielsetzung betrachten wir die folgenden Beispiele zum Virtual Fencing.
Virtual Fencing bzw. Geo-Fencing
Beim Virtual Fencing bzw. Geo-Fencing wird mithilfe von GPS, Mobilfunkdaten oder WLAN eine unsichtbare, virtuelle Grenze um einen realen geografischen Ort gebildet. In den Applets wird das mit Kreisen und Kugeln verdeutlicht.
| 2D-Kreis | 3D-Kugel |
|---|---|
| Wenn der Punkt $X$ vom Kreisinnern ins Kreisäußere bewegt wird, dann wird ein Signal an $X$ gesendet (der hier zu einem Wechsel der Farbe führt). | Wenn der Punkt $X$ vom Kugelinnern ins Kugeläußere bewegt wird, dann wird ein Signal an $X$ gesendet (der hier zu einem Wechsel der Farbe führt). |
Damit Virtual Fencing mit Kreisen und Kugel (bzw. beliebigen Gebieten) möglich ist, muss man Kreise und Kugeln (bzw. die betrachteten Gebiete) mathematisch beschreiben können. Es ergibt sich folgende Zielsetzung.
Zielsetzung
Ziel ist es, Kreise (in der 2D-Ebene) und Kugeln (im 3D-Raum) algebraisch zu beschreiben.
Algebraische Beschreibung von Kreisen und Kugeln
Die algebraische Beschreibung von Kreisen und Kugel kann man sich anhand der folgenden Applets verdeutlichen.
| 2D-Kreis | 3D-Kugel |
|---|---|
Es ergeben sich folgende Zusammenhänge.
Algebraische Beschreibung von Kreisen und Kugeln
| 2D-Kreis | 3D-Kugel |
|---|---|
| Ein Punkt $X(x_1|x_2)$ liegt auf dem Kreisrand mit dem Mittelpunkt $M(m_1|m_2)$ und dem Radius $r \in \mathbb{R}^+$ genau dann, wenn eine der folgenden (gleichwertigen) Bedingungen erfüllt ist: | Ein Punkt $X(x_1|x_2|x_3)$ liegt auf der Kugeloberfläche mit dem Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ und dem Radius $r \in \mathbb{R}^+$ genau dann, wenn eine der folgenden (gleichwertigen) Bedingungen erfüllt ist: |
|
Kreisgleichungen in Vektorform (KVF) $k: \left| \vec{x}-\vec{m} \right| = r$ $k: \left( \vec{x}-\vec{m} \right) \cdot \left( \vec{x}-\vec{m} \right) = r^2$ $k: \left( \vec{x}-\vec{m} \right)^2 = r^2$ |
Kugelgleichungen in Vektorform (KVF) $K: \left| \vec{x}-\vec{m} \right| = r$ $K: \left( \vec{x}-\vec{m} \right) \cdot \left( \vec{x}-\vec{m} \right) = r^2$ $K: \left( \vec{x}-\vec{m} \right)^2 = r^2$ |
|
Kreisgleichung in Koordinatenform (KKF) $k: (x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 = r^2$ |
Kugelgleichung in Koordinatenform (KKF) $K: (x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2= r^2$ |
Die folgenden Beispiele verdeutlichen diese Zusammenhänge.
Beispiele
| Kreis mit Mittelpunkt $M(2|1)$ und Radius $r = 3$ | Kugel mit Mittelpunkt $M(-0.5|1|2)$ und Radius $r = 1.5$ |
|---|---|
|
Kreisgleichungen in Vektorform (KVF) $k: \left[ \vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right]^2 = 3^2$ |
Kugelgleichungen in Vektorform (KVF) $K: \left[ \vec{x}-\begin{pmatrix} -0.5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right]^2 = 1.5^2$ |
|
Kreisgleichung in Koordinatenform (KKF) $k: (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 = 3^2$ |
Kugelgleichung in Koordinatenform (KKF) $K: (x_1 + 0.5)^2 + (x_2 - 1)^2 + (x_3 - 2)^2= 1.5^2$ |
Mit einer Kreis- oder Kugelgleichung kann man direkt überprüfen, ob ein vorgegebener Punkt auf dem beschriebenen Kreis bzw. der beschriebenen Kugel liegt. Man muss bei einer Punktprobe nur testen, ob die Koordinaten des Punktes die betreffende Gleichung erfüllen.
Beachte, dass man eine Kreis- oder Kugelgleichung umformen kann. Wir verdeutlichen das anhand folgender Beispiele.
Beispiel
| Vereinfachung einer Kreisgleichung | Umformung zur Kreisgleichung |
|---|---|
| Kreis mit $M(-1|3)$ und $r = 2$ | $x_1^2 + x_2^2 + 4x_1 - 10x_2 + 20 = 0$ |
| $(x_1 + 1)^2 + (x_2 - 3)^2 = 2^2$ | $(x_1^2 + 4x_1 + 4) + (x_2^2 - 10x_2 + 25) = 9$ |
| $(x_1^2 + 2x_1 + 1) + (x_2^2 - 6x_2 + 9) = 4$ | $(x_1 + 2)^2 + (x_2 - 5)^2 = 3^2$ |
| $x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 - 6x_2 + 6 = 0$ | Kreis mit $M(-2|5)$ und $r = 3$ |