Vertiefung
Zur Orientierung
Wir betrachten hier dreidimensionales Virtual Fencing. Ein 3D-Fencing funktioniert bei fliegenden Tieren in der Regel nicht zum Begrenzen ihres Bewegungsraums. Die Virtual-Fencing-Technologie wird u.a. benutzt, um Flugbereiche von Drohnen zu begrenzen. So kann man z.B. eine No-Fly-Zone um ein Kraftwerk mit einem virtuellen Zaun festlegen. Man spricht dann von 3D-Geofencing. Ziel ist es hier, einfache 3D-Geofencing-Systeme mathematisch zu modellieren.
Kugeln algebraisch beschreiben
Im folgenden Applet wird das Geofencing mit Kugeloberflächen simuliert. Im unteren Fenster kann man Daten zur Beschreibung der Kugeloberfläche eingeben. Im oberen Fenster kann man einen Punkt $X$ (zur Positionierung einer Drohne) im Raum hin und her bewegen. Teste zunächst das Applet und bearbeite anschließend die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: vzaun3d1.ggb
Aufgabe 1
Betrachte ein Geofencing mit den Daten $M(2|1|2)$ und $r = 3$.
(a) Entwickle eine passende Kugelgleichung (in Koordinatenform) und gib sie im Applet ein.
(b) Bestimme jeweils zwei Punkte, die genau auf der Kugeloberfläche, innerhalb der Kugel sowie außerhalb der Kugel liegen. Überprüfe im Applet.
Ergebnisse zusammenfassen und sichern
Aufgabe 2
Ergänze den folgenden Satz zur Beschreibung von Kreisen mit Vektor- und Koordinatengleichungen.
Algebraische Beschreibung von Kugeln
Ein Punkt $X(x_1|x_2|x_3)$ (mit dem Ortsvektor $\vec{x}$) liegt auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ (mit dem Ortsvektor $\vec{m}$) und dem Radius $r$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
- Kugelgleichung in Vektorform (VF):
$K: \dots$ - Kugelgleichung in Koordinatenform (KF):
$K: \dots$