Ableitung von Potenzfunktionen
Ableitungsfunktionen zu den Potenzfunktionen bestimmen
Wir bearbeiten hier folgendes Problem:
Gegeben ist eine Potenzfunkion $f$ mit $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$).
Gesucht ist eine Formel für die Ableitungsfunktion $f'(x)$ der betreffenden Potenzfunktion.
Das Applet hilf dir, das Problem zu lösen.
Zum Herunterladen: potenzregel.ggb
Aufgabe 1 (zur Überleitung)
Betrachte zunächst den Fall $n = 2$ (d. h. die Potenzfunktion $f(x) = x^2$). Erläutere, wie man ausgehend von der mittleren Änderungsrate $m(x, x+h)$ zur Ableitungsfunktion $f'(x) = 2x$ gelangt.
Aufgabe 2 (zur Erarbeitung)
Betrachte jetzt weitere Fälle (z. B. $n = 3$, $n = 4$, $n = 5$ und $n = 6$):
(a) Bestimme jeweils mit Hilfe des Applets die Formel für $f'(x)$:
- Stelle dafür den Exponenten mit dem Schieberegler passend ein.
- Leite aus dem letzten Term der mittleren Änderungsrate die Ableitungsfunktion her.
- Gib die Ableitungsfunktion $f'(x)$ dann in das Eingabefeld ein und kontrolliere sie grafisch. (Es darf nur ein blauer Graph zu sehen sein.)
(b) Sammle alle Ergebnisse in der Tabelle. Gib dann eine allgemeine Regel/Formel für $f(x) = x^n$ an.
| Potenzfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^2$ | $f'(x) = 2x$ |
| $f(x) = x^3$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^4$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^5$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^6$ | $f'(x) = ...$ |
| ... | ... |
| $f(x) = x^n$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^1 = x$ | $f'(x) = 1$ |
| $f(x) = x^0 = 1$ | $f'(x) = 0$ |
(c) Für Schnellere: In der Tabelle sind auch die Fälle $f(x) = x^1$ und $f(x) = x^0$ aufgelistet. Passen die bereits bekannten Ableitungen zur allgemeinen Formel? Begründe.
