Steigung einer Geraden

Steigung von Geraden untersuchen

Die Steigung einer Geraden beschreibt man mit der Änderung der $y$-Werte zur Schrittweite $1$. Mache dir das anhand des folgenden Applets nochmal klar.

Anleitung für das Applet

• Den Punkt $P$ kann man auf der $y$-Achse in eine bestimmte Position setzen.
• Den Punkt $Q$ kann man nur so bewegen, dass die Schrittweite $\mathrm{\Delta }x$ immer $1$ beträgt. Die Steigung $m$ der Geraden durch $P$ und $Q$ wird durch die Änderung $\mathrm{\Delta }y$ beschrieben.

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Wir verallgemeinern jetzt die Sichtweise auf die Steigung und benutzen hierzu das etwas veränderte Applet.

Anleitung für das Applet

• Die Punkte $P$ und $Q$ kann man jetzt in beliebige (Gitter-) Positionen setzen.
• Die Punkte $P$ und $Q$ legen eine Gerade fest, die man mit einer linearen Funktion $f$ beschreiben kann (sofern sie nicht dieselbe $x$-Koordinate haben).

Die Punkte $P$ und $Q$ legen zusätzlich ein Steigungsdreieck mit einer Schrittweite $\mathrm{\Delta }x$ und einem Zuwachs $\mathrm{\Delta }y$ fest.

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Aufgabe 1

(a) Setze die Punkte $P$ und $Q$ so, dass $\mathrm{\Delta }x=1$ gilt. Mache dir nochmal klar, wo du die Steigung am Steigungsdreieck ablesen kannst.

(b) Setze die Punkte $P$ und $Q$ so, dass für die Schrittweite $\mathrm{\Delta }x=2$ gilt. Beschreibe, wie du nun am Steigungsdreieck die Steigung ermitteln kannst.

(c) Setze die Punkte $P$ und $Q$ so, dass für die Schrittweite $\mathrm{\Delta }x=3$ gilt. Beschreibe, wie du die Änderung $\mathrm{\Delta }y$ einstellen musst, um die Steigung $m=1.5$ zu erhalten.

(d) Prüfe, ob der Zusammenhang $\text{Steigung}={\displaystyle \frac{\text{Änderung}}{\text{Schrittweite}}}$ auch für negative Schrittweiten gilt.

Aufgabe 2

Die Punkte $P$ und $Q$ werden jetzt mit ihren Koordinaten gegeben.

(a) Ermittle die Steigung der Geraden für die Punkte $P(2|1)$ und $Q(4|5)$ sowie $P(-1|2)$ und $Q(4|4.5)$. Beschreibe, wie man rechnerisch vorgehen kann.

(b) Betrachte jetzt die Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ mit beliebigen Koordinaten (so dass aber $x_P\ne x_Q$ gilt). Gib eine Formel an, mit der man die Steigung $m$ der Geraden durch $P$ und $Q$ berechnen kann.

$m={\displaystyle \frac{\dots }{\dots }}$

Applet mit Hilfestellung

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Zusammenfassung

Zusammenfassung

Steigung einer Geraden

Die Steigung einer Geraden beschreibt man mit dem Änderung der $y$-Werte zur Schrittweite $1$.

Im folgenden Applet wird die Schrittweite mit $\mathrm{\Delta }x$ und die Änderung der $y$-Werte mit $\mathrm{\Delta }y$ bezeichnet.

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Steigungen einer Geraden kann man mit beliebigen Steigungsdreiecken (mit beliebigen Schrittweiten und den zugehörigen Änderungen) bestimmen.

Zum Herunterladen: steigung3.ggb

Punktsteigungsformel

Betrachte zwei Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ mit $x_P\ne x_Q$ (die also nicht dieselben $x$-Koordinaten haben). Die Steigung der Geraden durch $P$ und $Q$ kann man dann mit folgender Formel berechnen:

$m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}}={\displaystyle \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}}$

Also: Steigung = Änderung pro Schrittweite = (Differenz der $y$-Koordinaten) durch (Differenz der $x$-Koordinaten)