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Nullstellen - Basisstrategien

Zur Orientierung

Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist eine Zahl (bzw. Stelle) $x$ , die die Bedingung $f (x) = 0$ erfüllt.

Anschaulich ist eine Nullstelle eine Stelle, an der der Graph der Funktion die $x$ -Achse schneidet oder berührt.

Wir stellen hier Strategien zusammen, mit denen man die Nullstellen von quadratischen Funktionen direkt bestimmen kann.

Strategie: Umformung der Nullstellenbedingung

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f (x) = 0.5 x^{2} - 2$

Bedingung: $f (x) = 0$

Umformungen:
$\begin{array}{lcll} 0.5 x^{2} - 2 & = & 0 & | + 2 \\ 0.5 x^{2} & = & 0 & | : 0.5 \\ x^{2} & = & 4 & | \sqrt{} \\ x = - 2 & oder & x = 2 \end{array}$

Nullstellen:
$x_{1} = - 2$ ; $x_{2} = 2$ (oder in Mengenschreibweise: ${- 2; 2}$ )

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Zum Herunterladen: nullstellenqf1.ggb

Aufgabe 1

(a) Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.

$f (x) = 1.5 x^{2} - 1.5$
$f (x) = x^{2} - 2$
$f (x) = x^{2} + 2$
$f (x) = x^{2}$

Zur Kontrolle

$x_{1} = - 1$ ; $x_{2} = 1$
$x_{1} = - \sqrt{2}$ ; $x_{2} = \sqrt{2}$
Es gibt keine Nullstellen.
$x_{1} = 0$

(b) Das Verfahren durch Umformen der Gleichung funktioniert bei quadratischen Funktionen vom Typ $f (x) = a x^{2} + c$ . Warum funktioniert es nicht so einfach bei einer Funktion wie z.B. $f (x) = x^{2} - x + 1$ ?

Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms durch Ausklammern

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 1: Umwandlung des Funktionsterms in ein Produkt

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x = 2 x (x + 2)$

Schritt 2: Bestimmung der Nullstellen

$f (x) = 0$ $\Leftrightarrow$
$2 x (x + 2)$ $\Leftrightarrow$
$2 x = 0$ oder $x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow$
$x = 0$ oder $x = - 2$

Nullstellen:
$x_{1} = - 2$ ; $x_{2} = 0$ (oder in Mengenschreibweise: ${- 2; 0}$ )

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Zum Herunterladen: nullstellenqf2.ggb

Aufgabe 2

(a) Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.

$f (x) = 1.5 x^{2} - 1.5 x$
$f (x) = x^{2} - 2 x$
$f (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Zur Kontrolle

$x_{1} = 0$ ; $x_{2} = 1$
$x_{1} = 0$ ; $x_{2} = 2$
$x_{1} = 0$ ; $x_{2} = - \frac{2}{3}$

(b) Das Verfahren durch Ausklammern funktioniert bei quadratischen Funktionen vom Typ $f (x) = a x^{2} + b x$ . Warum funktioniert es nicht bei einer Funktion wie z.B. $f (x) = x^{2} - x + 1$ ?

Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms mit den binomischen Formeln

Wiederholung - Binomische Formeln

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 1: Anwendung einer binomischen Formel

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$

Schritt 2: Bestimmung der Nullstellen

$f (x) = 0$ $\Leftrightarrow$
$(x + 2)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow$
$x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow$
$x = - 2$

Nullstellen:
$x_{1} = - 2$ (oder in Mengenschreibweise: ${- 2}$ )

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Zum Herunterladen: nullstellenqf3.ggb

Aufgabe 3

(a) Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$
$f (x) = x^{2} - 4$
$f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 2$

Zur Kontrolle

$x_{1} = 3$
$x_{1} = - 2$ ; $x_{2} = 2$
$x_{1} = 1$

(b) Zeige: Die Nullstellen einer Funktion $f$ mit $f (x) = a x^{2} + c$ kann man auch mit der 3. binomischen Formel bestimmen. Welche Voraussetzung muss hierzu erfüllt sein?

Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms mit dem Satz von Vieta

Zur Vorbereitung betrachten wir eine quadratische Funkion $f$ mit $f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Eine solche Funktion hat die Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ .

Durch Ausmultiplizieren des Funktionsterms erhält man:

$f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) = x^{2} - x_{1} \cdot x - x_{2} \cdot x + x_{1} \cdot x_{2} = x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} \cdot x_{2}$

Es gilt also folgender Satz:

Satz von Vieta

Wenn $x_{1}$ und $x_{2}$ Nullstellen von $f (x) = x^{2} + b x + c$ sind, dann gilt $b = - (x_{1} + x_{2})$ und $c = x_{1} \cdot x_{2}$ .

Mit diesem Satz kann man oft die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Ansatz: Gibt es Zahlen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit:

$f (x) = x^{2} - \underset{5}{\underset{⏟}{(x_{1} + x_{2})}} x + \underset{6}{\underset{⏟}{x_{1} \cdot x_{2}}}$

Lösung: Für $x_{1} = 2$ und $x_{2} = 3$ gilt:

$x_{1} \cdot x_{2} = 6$ und $x_{1} + x_{2} = 5$

Nullstellen:
$x_{1} = 2$ ; $x_{2} = 3$ (oder in Mengenschreibweise: ${2; 3}$ )

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Aufgabe 4

(a) Bestimme analog die Nullstellen der folgenden Funktionen.

$f (x) = x^{2} - 3 x + 2$
$f (x) = x^{2} + 3 x + 2$
$f (x) = x^{2} + x - 6$
$f (x) = x^{2} - x - 6$

Zur Kontrolle

$x_{1} = 1; x_{2} = 2$
$x_{1} = - 2$ ; $x_{2} = - 1$
$x_{1} = - 3$ ; $x_{2} = 2$
$x_{1} = 3$ ; $x_{2} = - 2$

(b) Begründe: Es ist günstig, bei der Nullstellenbestimmung bei einer Funktion $f$ mit $f (x) = x^{2} + b x + c$ die ganzzahligen Teiler von $c$ im Blick zu haben.

Zusammenfassung

Nullstelle

Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist eine Zahl (bzw. Stelle) $x$ , die folgende Bedingung erfüllt: $f (x) = 0$

Viele Strategien beruhen auf dem folgenden elementaren Satz:

Produkt ergibt Null

Es gilt $p \cdot q = 0$ genau dann, wenn $p = 0$ oder $q = 0$ gilt.

Ein Produkt ist Null genau dann, wenn einer der Faktoren Null ist.

Günstig ist es daher, den Funktionsterm einer (quadratischen) Funktion in ein Produkt umzuformen. Aus den Faktoren kann man dann meist direkt die Nullstellen ablesen.

Beispiele

$f (x) = x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$
Nullstellen: $x_{1} = - 2$ ; $x_{2} = 2$
$f (x) = x^{2} + 3 x = x (x + 3)$
Nullstellen: $x_{1} = - 3$ ; $x_{2} = 0$
$f (x) = x^{2} - 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$
Nullstellen: $x_{1} = - 1$
$f (x) = x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$
Nullstellen: $x_{1} = - 3$ ; $x_{2} = 2$

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Nullstellen - Basisstrategien

Zur Orientierung

Strategie: Umformung der Nullstellenbedingung

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von f(x)=0.5x2−2

Aufgabe 1

Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms durch Ausklammern

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von f(x)=2x2+4x

Aufgabe 2

Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms mit den binomischen Formeln

Wiederholung - Binomische Formeln

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von f(x)=x2+4x+4

Aufgabe 3

Strategie: Faktorisierung des Funktionsterms mit dem Satz von Vieta

Satz von Vieta

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von f(x)=x2−5x+6

Aufgabe 4

Zusammenfassung

Nullstelle

Produkt ergibt Null

Beispiele

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Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f (x) = 0.5 x^{2} - 2$

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

Beispiel: Bestimmung der Nullstellen von $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$