Ableitungen

1. Entwicklung eines Bestandes

• Dieses Einstiegskapitel liefert noch keine mathematischen Theoriebausteine. Man könnte es also durchaus überspringen. Da es für Lernende aber eine erste Orientierung liefert, ist eine Behandlung (z.B. im Umfang von 1 Stunde) angeraten.
• ... Reaktivierung des Funktionskonzeps ...

2. Mittlere Änderungsrate

• Zur Erkundung werden hier 2 Kontexte mit jeweiligen Problemstellungen angeboten.
• Die Bestandsentwicklung im Kontext Haustiere ist am einfachsten gestrickt. Hier sind diskrete Werte in einem Diagramm vorgegeben...
• Im Kontext Download wird eine kontinuierte Bestandsentwicklung bearbeitet. Hier wird mit dem Begriff Downloadrate das Konzept der mittleren Änderungsrate an einem Beispiel verdeutlicht.
• Für die weitere Vorgehensweise reicht es, nur eine dieser Erkundungen zu bearbeiten. Für das Durchdringen der Zusammenhänge ist es für viele Lerner aber günstig, beide Kontexte zu bearbeiten. Ein mögliches Szenario für den Unterricht: Die Erkundung Haustiere als vorbereitende Hausaufgabe stellen und die Erkundung Download dann im Unterricht bearbeiten.
• Zur Vertiefung wird der Kontext Autofahrt angeboten. Hier wird das im Alltag ständig benutzte Geschwindigkeitskonzept als Änderungsrate gedeutet. Das bereitgestellte Applet unterstützt das Verständnis, indem verschiedene Geschwindigkeiten quasi-enaktiv erlebt und parallel hierzu im Zeit-Weg-Diagramm bildlich gedeutet werden. In dieser Vertiefung wird auch der Übergang zur lokalen Änderungsrate bereits inhaltlich motiviert.

3. Lokale Änderungsrate

• Die beiden Abschnitte Erkundung - Tempolimit und Erkundung - 100m-Lauf bieten alternative Kontexte für erste Erkundungen zur Momentangeschwindigkeit. Hier reicht es, einen dieser beiden Abschnitte zu bearbeiten.
• Die Applets im Abschnitt Erkundung - Tempolimit dienen als Werkzeuge, um die Momentangeschwindigkeit eines Autos abzuschätzen. Sie visualisieren alle Zusammenhänge, entlasten (zum Teil) von Standardrechnungen und bieten viele Kontrollmöglichkeiten.
• Im Strukturierungsabschnitt werden die zuvor im Kontext durchgeführten Überlegungen verallgemeinert. Sie können dann im angebotenen Wissensspeicher strukturiert gesichert werden.

4. Ableitung an einer Stelle

• In diesem Kapitel wird die Ableitung als lokale Änderungsrate eingeführt. Die inhaltliche Vorstellung basiert also auf der momentanen Änderungsgeschwindigkeit bei einer Bestandsentwicklung.
• Neben dieser inhaltlichen Vorstellung wird in diesem Kapitel eine geometrische Deutung des abstrakten Ableitungskonzepts erarbeitet. Die Ableitung an einer Stelle wird hierzu als Steigung im entsprechenden Punkt des Funktionsgraphen gedeutet.
• Für diese Deutung muss der Steigungsbegriff verallgemeinert werden. Aus der Sekundarstufe sind Steigungen nur für Geraden definiert. Für die benutzten Steigungsdreiecke braucht man zudem immer 2 Punkte auf der Geraden. Die Verallgemeinerung besteht jetzt darin, für gekrümmte Funktionsgraphen einen sinnvollen punktuellen Steigungsbegriff einzuführen. Dieser basiert auf der Beobachtung, dass gekrümmte Funktionsgraphen (in der Regel) lokal fast gerade sind. Man muss nur genau genug hinschauen. Für das genaue Hinschauen wird ein Applet als Funktionenmikroskop angeboten.
• Die Steigung eines Graphen in einem Punkt P wird mit einem Grenzprozess festgelegt, bei dem sich die Steigungen von Sekanten stabilisieren, wenn man die Schrittweite der benutzten Steigungspunkte P und Q gegen 0 gehen lässt. Im Grenzfall wird bei diesem Grenzprozess aus den Sekanten (durch P und Q) eine Gerade, die den Funktionsgraphen im Punkt P berührt. Diese Beobachtung nutzen wir, um den Tangentenbegriff auch für Funktionsgraphen einzuführen: Eine Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Punkt ist die Gerade, die dieselbe Steigung wie der Graph in diesem Punkt hat.
• Bei dem gewählten Vorgehen steht folgende geometrische Deutung der Ableitung im Vordergrund: Die Ableitung an einer Stelle wird geometrisch als Steigung des Funktionsgraphen im entsprechenden Punkt gedeutet. Sie lässt sich dann mit Hilfe einer Tangente an den Funktionsgraphen durch diesen Punkt (oft auch nur mit einem kurzen Tangentenschnipsel) gut sichbar visualisieren.
• In diesem Kapitel führen wir noch keine rechnerischen Grenzwertbestimmungen zur Ermittlung von Ableitungswerten durch. Diese werden erst in einem der weiteren Kapitel schwerpunktmäßig behandelt. In diesem Kapitel liegt der Fokus auf dem inhaltlichen Verständnis des Ableitungskonzepts.

5. Differenzierbarkeit

• Im Kapitel Ableitung an einer Stelle stehen Grundvorstellungen zum Ableitungskonzept sowie deren mathematische Präzisierung im Vordergrund. Dabei werden nur unproblematische Funktionen betrachtet, bei denen das Approximationsverfahren zur Bildung einer Ableitung zu sinnvollen Ergebnissen führt.
• Im Kapitel Differenzierbarkeit stehen jetzt die problematischen Fälle im Vordergrund. Es wird anhand einfacher Beispiele aufgezeigt, dass das Approximationsverfahren zur Bildung einer Ableitung versagen kann. Um solche problematischen Fälle auszuschließen, Wird der Begriff der Differenzierbarkeit eingeführt.
• Wir beschränken uns hier auf anschauliche und beispielbezogene Argumentationen. Das Kapitel kann somit in weiten Teilen auch im Grundfach behandelt werden. Die vertiefenden Überlegungen über den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit setzen eine vorherige Behandlung des Stetigkeitsbegriffs voraus.