Ableitungsfunktionen

1. Rechnerische Herleitung

• Im Kapitel Ableitungen steht das inhaltliche Verständnis des Ableitungskonzepts (mit seiner Deutung als lokale Änderungsrate und als Steigung des Funktionsgraphen) im Vordergrund. Im aktuellen Kapitel liegt der Fokus auf der rechnerischen Bestimmung einzelner Ableitungswerte und der allgemeinen Herleitung von Formeln für beliebige Ableitungswerte.
• Dieser Fokuswechsel spiegelt sich auch in der Bezeichnung der betrachteten Stellen wider: Im Kapitel Ableitungen haben wir die Stelle, an der die Ableitung ermittelt werden soll, immer mit $x_0$ bezeichnet. In diesem Kapitel werden wir für die betrachtete Stelle immer die Bezeichnung $x$ verwenden. Mit diesem Bezeichnungswechsel ist ein Wechsel der Sichtweise verbunden. Statt auf einzelne ausgewählte Stellen wird der Fokus ab jetzt auf die Gesamtheit aller Stellen gerichtet.
• Die Formeln für Ableitungen zu beliebigen Stellen werden zudem funktional gedeutet und liefern die – für alle weiteren Untersuchungen – so wichtigen Ableitungsfunktionen.
• Zur Erkundung werden 2 alternative Wege angeboten: Die Erkundung freier Fall führt die Berechnungen und Herleitungen in einem physikalisch sehr interessanten und bedeutsamen Kontext ein. Die Erkundung zur Quadratfunktion benutzt einen eher geometrisch orientierten Kontext. Beide Erkundungen führen zu den gleichen Grundideen und Verfahren. Es reicht also, eine dieser Erkundungen im Unterricht zu behandeln.
• Bei der Herleitung von Ableitungen werden Grenzwerte informell (mit einem intuitiven Grenzwertverständnis) bestimmt. Hierfüt ist keine ausführliche Behandlung des Grenzwertbegriffs erforderlich.
• Das Vorgehen akzentuiert vielfach typische Verfahren, die in vielen Wissenschaften benutzt werden: Vermutungen aufstellen; Ergebnisse auf Plausibilität überprüfen.

2. Ableitungsregeln

• Die Erkundung elementarer Ableitungregeln erfolgt im Kontext Modellierung von Halfpipes. Die Modellierung von Halfpipeprofilen liefert einen Anlass, um Potenzfunktionen und ihre Kombination zu ganzrationalen Funktionen zu motivieren.
• Zur Erarbeitung der Ableitungsregeln werden Applets bereigestellt, die Information über die jeweils betroffenen Ableitungsfunktionen liefern. Die Regeln gewinnt man durch eine Analyse von Beispielen. Hier gilt es, Muster im Beispielmaterial zu erkennen.
• Die Nachweis der Regeln erfolgt als Vertiefung und kann weggelassen werden. Die Argumentationen zum Nachweis basieren auf inhaltlichen Begründungen der gefundenen Zusammenhänge. Auf formale Beweise wird hier verzichtet.

3. Grafisches Ableiten

• Das grafische Ableiten greift die geometrische Deutung der Ableitung auf und vernetzt sie mit der funktionalen Sicht auf die Ableitungsfunktion. Das grafische Ableiten dient somit zur Vertiefung des Verständnisses zur Ableitungsfunktion.
• Für das grafische Ableiten stellen wir Applets zur Verfügung, mit denen die zentralen Schritte interaktiv durchgeführt werden können. Parallel hierzu bieten wir Arbeitsblätter zum Download in, in denen das grafische Ableiten händisch durchgeführt werden muss. Für den Unterricht empfehlen wir, beide Varianten zu nutzen.
• Das grafische Ableiten bereitet auch bereits auf Funktionsuntersuchungen vor. Bei der Konstruktion des Graphen der Ableitungsfunktiongelangt man (fast) automatisch zu ersten Erkenntnissen über Zusammenhänge zwischen den Graphen der Ausgangsfunktion und der zugehörigen Ableitungsfunktion.
• Wir unterstützen dieses Herantasten an Zusammenhänge, indem wir es in in den Applets ermöglichen, selbst die zu bearbeiten Punkte einzustellen. Hierdurch wird man angehalten, sich vorab Gedanken über strukturell günstige Punkte zu machen.

4. Höhere Ableitungen

• Höhere Ableitungen können im Unterricht an unterschiedlichen Stellen sinnvoll thematisiert werden. Möglich ist es, diese Ableitungen erst bei Funktionsuntersuchungen einzuführen, wenn es um Krümmungseigenschaften von Funktionsgraphen geht. Wir thematisieren sie im Kapitel Ableitungsfunktionen, um den funktionalen Aspekt zu verdeutlichen: Das Ableiten erzeugt aus einer Funktion eine neue Funktion.
• Zur inhaltlichen Motivation nutzen wir den in der Physik wichtigen Zusammenhang zwischen Zeit-Weg-Funktion, Zeit-Geschwindigkeit-Funktion und Zeit-Beschleunigung-Funktion. Hiermit vernetzen wir physikalische Größen mit ihrer mathematischen Beschreibung.