1. Rekonstruktion eines Bestandes: Das lief recht flüssig. Die Interpretation als Flächenbilanz (Begriff in BB) bzw. orientierter Flächeninhalt war direkt da. Das könnte man in meinen Augen hier einpflegen. Denn weniger Kapitel bedeuten weniger „neue Anläufe“ zum Erarbeiten und damit mehr Zeit zum Üben. Das sollte dann eine eigene Lernstrecke darstellen, damit es dennoch einen gewissen Stellenwert erfährt. Ich würde die Schreibweise des bestimmten Integrals dann schon hier einbinden. Also: Wir wollen die Bestandsänderung zwischen a und b rekonstruieren und schreiben das so: \int_a^b f(x) dx. Hintergrund zur Schreibweise dann später.

2. Grenzwert von Produktsummen: Wenn wir die Interpretation von Flächeninhalten schon kennen, können wir das gut hier einpflegen. Dann könnte man zuerst das Annähern mit Produktsummen (mitsamt geometrischer Interpretation) klären, dann die Formalisierung per Ober- und Untersumme. An einigen Stellen kommt diese Vorstellung ohnehin schon vor, obwohl sie ja erst in 3. wirklich eingeführt wurde. Ich würde die Schreibweise I_a(b) hier weglassen.

3. Orientierte Flächeninhalte: Streichen.

3. Integralfunktion: Fachlich gehört das in meinen Augen eher hier her. Dann kann man hier die Schriebweise I_a(x) nachliefern und direkt verbinden in der Form I_a(b) = \int_a^b.

4. Beispiele für Bestandsrekonstruktionen: 3.3.2 alt hierher verschieben. Ich finde, dass das in 3.3 etwas „dazugeklatscht“ wirkt. Es ist ja bei weitem nicht so groß wie die Flächeninhalte. Außerdem wurde es davor schon gemacht.

Das könnte man in meinen Augen etwas aufteilen in mehrere Unterkapitel. Für meine SuS war das zu schnell.
1. Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
2. Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
3. Rotationsvolumen: Fände ich inhaltlich hier gut anschlussfähig.

Mich überzeugt in diesem Kapitel die Schwerpunktsetzung der Strukturierung und Zusammenfassung noch nicht.In der Erkundung können die SuS den Zusammenhang „Fläche zwischen f und g ist Fläche unter f minus Fläche unter g“ selbst entdecken und sie erhalten in der Vertiefung einen kurzen Einblick darin, dass das auch unterhalb der x-Achse geht. Wie schon geschrieben rege ich an, dass das Bestimmen der Parabelgleichungen in einen extra Schritt kommt. Ich unterrichte das Thema morgen vertretungsweise im GK und werde so vorgehen: 1. In einem Warm-Up bestimme ich Stammfunktionen (u.a. die in der Aufgabe benötigten). 2. Dann besprechen wir das Einstiegsbeispiel (Was ist die Aufgabenstellung? Wie kann man die Parabelgleichungen bestimmen – ohne es wirklich zu tun?) und dann bearbeiten es die SuS in der Methode „Tinking Classroom“ (SuS arbeiten in Gruppen an Tafeln und Flipchart-Blättern, sodass jeder die Gruppenergebnisse sehen kann). 3. Nach einer Vorstellung der Ergebnisse mathematisiere ich kurz und schmerzlos im Unterrichtsgespräch mit den folgenden Fragen:- Was war hier mathematisch betrachtet unser Ziel?- Welche Voraussetzungen haben wir in der konkreten Situation?- Wie können wir das Problem lösen (Formel mit Veranschaulichung). Wir bleiben dabei auch bei A = int f dx - int g dx. Auf int f-g dx gehe ich an dieser Stelle gar nicht ein.Diese drei Punkte sind in meinen Augen das Wichtigste für die Strukturierung. Die Strukturierungsseite des Kapitels geht ja in der ersten Aufgabe schon zur Differenzenfunktion über und betrachtet dann immer kompliziertere Fälle, die ich gerade gar nicht so wichtig finde.4. Die Ergebnisse halten die SuS selbst auf einem von mir erstellten Wissensspeicher (ist in der Typst-Sammlung zum Nachschauen) fest. Sie bearbeiten dann außerdem eine Buch-Aufgabe als Muster-Beispiel (kommt auch auf den Wissensspeicher). Im Wissensspeicher war mir wichtig, dass die Logik „Fläche unter f minus Fläche unter g“ tatsächlich gezeigt wird. Im bestehenden WS kommt das in meinen Augen zu kurz.5. Erst am Ender der Stunde schauen wir uns für 10 Minuten den Fall aus der Vertiefung der Erkundung an. Wir geben uns dabei aber damit zufrieden, hier Folgendes zu erkennen: Es muss anschaulich natürlich dasselbe rauskommen. Geometrisch ist das im Beispiel auch klar durch -*-=+; die beiden Flächenstücke werden also addiert. Rechnerisch hebt sich das +c einfach weg. Diese Erkenntnis würde ich aber gar nicht sichern; habe sie auch nicht im Wissensspeicher aufgenommen.In der nächsten Stunde wäre dann eventuell die Differenzfunktion dran – ebenfalls ganz kurz, vielleicht in einem Warm-Up – ggf. sogar ohne eigene Sicherung. Falls ich das sichere, dann wäre mir eine Abbildung wichtig, die die Situation zeigt von f, g und der Funktion f-g. Ggf. reicht mir aber auch sogar, wenn die SuS die Formel A = int f dx - int g dx gut verstanden haben. Auf jeden Fall betrachte ich dann Flächenstücke mit mehreren zu berechnenden Schnittstellen. Aber ggf. geht auch das ohne eigenen Wissensspeicher. Vielleicht notiere ich einfach die Strategie: Schnittstellen bestimmen -> Intervalle mit „f oben“ oder „g oben“ bilden -> Für jedes Intervall Fläche zwischen f und g bestimmen -> Einzelflächen addieren.Neben diesen grundsätzlichen Anmerkungen ist mir noch eine Kleinigkeit aufgefallen: Das Applet in A2 der Strukturierung und unten in der Zusammenfassung hat ein Flächenstück, das nicht auf die Checkboxen reagiert.

1. Integrale weiterer Funktionen: e-Funktion, ln, trigonometrische Funktionen; Vielleicht jeweils so aufbereitet:

• Ableitungsregeln dazu wiederholen
• Integrationsregel für Stammfunktion entdecken
• Integrale mit Stammfunktion berechnen
• Anwendungsaufgabe: Mal eine Fläche, mal eine Bestandsrekonstruktion
• Zielsetzung: Das könnte man dann als Referate umsetzen.

2. Integrationsregeln: (lineare) Substitution, Zusammenhänge zwischen Ableitungs- und Integrationsregeln herstellen

3. Uneigentliche Integrale