Ein rechnerisches Verfahren

Systematisch bei der Untersuchung linearer Abhängigkeit vorgehen

Wir untersuchen weiterhin folgende Vektorkonstellation auf lineare Abhängigkeit.

Zum Herunterladen: linearunabhaengig2.ggb

Ziel ist es zu überprüfen, ob es eine Rundreise mit den vorgegebenen Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ gibt.

• Schritt 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen.
• Schritt 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.
• Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen.
• Schritt 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Aufgabe 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen

Erläutere kurz, wie man zur folgenden Bedingung (als Vektorgleichung) gelangt.

$r \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$.

Aufgabe 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln

Erkläre, wie man die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem überführt.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 4r &+& 2s &+& t & = & 0 \\ [2] &\quad 3r &-& s &-& 3t & = & 0 \\ [3] &\quad -2r &+& 2s &+& 4t & = & 0 \\ \end{array}$

Aufgabe 3: Das Gleichungssystem lösen

Das Lösen des linearen Gleichungssystems überlassen wir einem Computeralgebrasystem.

Zum Herunterladen: lgs_lineareabhaengigkeit1.ggb

Führe den Befehl in Zeile 4 mit der [return]-Taste aus. Als Ergebnis erhält man hier:

$\{\{r=\frac{1}{2}t, s=\frac{-3}{2}t, t=t \}\}$

Deute das Ergebnis. Setze hierzu für $t$ Werte ein, z.B. $t=1$ und $t=-1$.

Aufgabe 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten

Welchen Schluss kannst man aus dem Ergebnis aus Aufgabe 3 ziehen: Sind die drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ linear abhängig? Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet.

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