Erkundung: Gewinnfunktion

Eine Gewinnfunktion analysieren

In realen Betrieben tritt immer wieder die folgende Situation auf: Der erwartete Gewinn eines Betriebes, der eine bestimmte Ware produziert, lässt sich mit einer Gewinnfunktion $g$ beschreiben. Die Funktion $g$ beschreibt den erwarteten Gewinn in Abhängigkeit von der Menge der produzierten Waren.

Eine Firma hat für ihr bekanntestes Produkt die folgenden Gewinnfunktion ermittelt:

$$\boxed{g(x) = -x^3+9.3 x^2+21.6 x-87}$$ (wobei $0 \leq x \leq 12$ gelten soll)

Wenn der Betrieb $x$ Mengeneinheiten der Teile produziert, dann erwirtschaftet der Betrieb voraussichtlich einen Gewinn von $g(x)$ Geldeinheiten. Eine Mengeneinheit beträgt hier 1000 Teile, eine Geldeinheit 1000 €.

Aufgabe zum Einstieg

(a) Berechne, wie viel Gewinn die Firma beim Verkauf von 2000 Teilen macht.

(b) Formuliere eine Frage, die sich die Geschäftsführer dieser Firma stellen könnten.

Aufgabe zur Erarbeitung I

🎯 Leitfrage

Bei welcher Stückzahl macht die Firma den maximalen Gewinn?

(a) Beantworte die Frage, indem du die fehlenden Werte berechnest und in die Wertetabelle einträgst.

(b) Erkläre, inwiefern die am Graphen abgelesene Antwort unbefriedigend ist.

Aufgabe zur Erarbeitung II

Im Applet siehst du schwarz den Graphen der Gewinnfunktion g und blau den dazugehörigen Ableitungsgraphen g'.

(a) Bewege den Punkt P. Die Tangente der Funktion f am Punkt P bewegt sich mit.

(b) Erkläre, wie du am blauen Ableitungsgraphen f' im unteren Feld erkennen kannst, wo der schwarze Ursprungsgraph seine Maximalstelle hat. Du kannst zur Erklärung ausnutzen, dass du den Punkt P verschieben kannst.

(c) Berechne mithilfe der Erkenntnis aus (b) die exakte Maximalstelle der Gewinnfunktion.