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Allgemeine Abstandsformel

Benennung

Punkt $Q \in R^{3}$ (Ortsvektor: $\vec{q} = \vec{O Q}$ )
Gerade $g : \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}$
- Stützvektor $\vec{p} \in R^{3}$ (mit entsprechendem Punkt $P$ )
- Richtungsvektor $\vec{v} \in R^{3}$

Aufgabe 1

Überlege kurz, wie man nach dem Bestimmen des Parameters $t$ vorgehen könnte, um eine allgemeine Abstandsformel zwischen Punkt und Gerade herzuleiten. Lies dann die untere Herleitung einer allgemeinen Abstandsformel.

Sammle Vor- und Nachteile der allgemeinen Formel gegenüber dem bisherigen schrittweisen Vorgehen. Urteile, welches Vorgehen du zur Berechnung in konkreten Beispielen nutzen würdest.

Herleitung

Optimaler Parameter (siehe Aufgabe 3 in Berechnungsverfahren): $t = \frac{(\vec{q} - \vec{p}) \circ \vec{v}}{| \vec{v} |^{2}}$
Einsetzen in Geradengleichung liefert Lotfußpunkt: $\begin{aligned} \vec{O F_{t}} & = \vec{p} + t \cdot \vec{v} \\ = \vec{p} + \frac{(\vec{q} - \vec{p}) \circ \vec{v}}{| \vec{v} |^{2}} \cdot \vec{v} \end{aligned}$
Abstand vom Lotfußpunkt $F$ zum Punkt $Q$ ist auch Abstand zur Geraden $g$ : $\begin{aligned} d (Q, g) & = | \vec{F_{t} Q} | \\ = | \vec{q} - \vec{p} - \frac{(\vec{q} - \vec{p}) \circ \vec{v}}{| \vec{v} |^{2}} \cdot \vec{v} | \end{aligned}$

Allgemeine Abstandsformel

Aufgabe 1

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