Allgemeine Abstandsformel
Benennung
- Punkt $Q \in \mathbb{R}^3$ (Ortsvektor: $\vec q = \overrightarrow{OQ}$)
-
Gerade $g: \vec x = \vec p + t \cdot \vec v$
- Stützvektor $\vec p \in \mathbb{R}^3$ (mit entsprechendem Punkt $P$)
- Richtungsvektor $\vec v \in \mathbb{R}^3$
Aufgabe 1
Überlege kurz, wie man nach dem Bestimmen des Parameters $t$ vorgehen könnte, um eine allgemeine Abstandsformel zwischen Punkt und Gerade herzuleiten. Lies dann die untere Herleitung einer allgemeinen Abstandsformel.
Sammle Vor- und Nachteile der allgemeinen Formel gegenüber dem bisherigen schrittweisen Vorgehen. Urteile, welches Vorgehen du zur Berechnung in konkreten Beispielen nutzen würdest.
Herleitung
- Optimaler Parameter (siehe Aufgabe 3 in Berechnungsverfahren): $$t = \frac{(\vec q - \vec p) \circ \vec v}{|\vec v|^2}$$
- Einsetzen in Geradengleichung liefert Lotfußpunkt: $$\begin{align} \overrightarrow{OF_t} &= \vec p + t \cdot \vec v \\ &= \vec p + \frac{(\vec q - \vec p) \circ \vec v}{|\vec v|^2} \cdot \vec v \end{align}$$
- Abstand vom Lotfußpunkt $F$ zum Punkt $Q$ ist auch Abstand zur Geraden $g$: $$\begin{align} d(Q, g) &= |\overrightarrow{F_t Q}| \\ &= |\vec q - \vec p - \frac{(\vec q - \vec p) \circ \vec v}{|\vec v|^2} \cdot \vec v| \end{align}$$
