Berechnungsverfahren
Benennung
- Punkt $Q \in \mathbb{R}^3$ (Ortsvektor: $\vec q = \overrightarrow{OQ}$)
-
Gerade $g: \vec x = \vec p + t \cdot \vec v$
- Stützvektor $\vec p \in \mathbb{R}^3$ (mit entsprechendem Punkt $P$)
- Richtungsvektor $\vec v \in \mathbb{R}^3$
Aufgabe 1: Berechnung des Abstands
Im unteren GeoGebra-Applet kannst du einen Punkt $F_t$ durch Änderung des Parameters $t$ an $g$ entlang bewegen. Bestimme den Wert von $t$, sodass der gesuchte Abstand zwischen $Q$ und $g$ mithilfe von $F_t$ bestimmt werden kann.
(a) Ändere den Wert von $t$ zuerst nach Augenmaß für eine ungefähre Schätzung.
(b) Entwickle eine Strategie, um einen passenden Wert von $t$ exakt zu bestimmen. Nutze bei Bedarf den Knopf Keine Idee.
(c) Berechne den Abstand zwischen $Q$ und $g$.
Kontrolle
Der Abstand beträgt $\sqrt{13}$.
Zum Herunterladen: Punktbestimmung.ggb
Aufgabe 2: Allgemeines Verfahren
Benennung
- Punkt $Q \in \mathbb{R}^3$ (Ortsvektor: $\vec q = \overrightarrow{OQ}$)
-
Gerade $g: \vec x = \vec p + t \cdot \vec v$
- Stützvektor $\vec p \in \mathbb{R}^3$ (mit entsprechendem Punkt $P$)
- Richtungsvektor $\vec v \in \mathbb{R}^3$
Verallgemeinere die Lösungsstrategie aus dem Beispiel:
Beschreibe in Stichpunkten ein allgemeines Verfahren zur Berechnung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Geraden. Gib zu lösende Gleichungen und Konstruktionen von Hilfsgeraden, -ebenen, etc. jeweils mit an. Orientiere dich dabei an der vorgegebenen Benennung der gegebenen Größen.
Du musst hier noch keine allgemeine Lösungsformel entwickeln, es genügt eine Beschreibung der Schritte.
Aufgabe 3: Formel für Parameter $t$ (für Schnellere)
Gehe den ersten Schritt zu einer allgemeinen Lösungsformel:
(a) Bestimme anhand deiner Strategie in Aufgabe 2 eine allgemeine Lösungsformel für den Parameter $t$ zur Berechnung des Abstands Punkt/Gerade. Bleibe bei der bisherigen Benennung.
(b) Vergleiche dein Ergebnis mit dem entsprechenden Parameter in der Herleitung des Abstands Punkt/Ebene.
Wenn du auch mit Aufgabe 3 fertig bist, gehe weiter zur Vertiefung auf der nächsten Seite.
