Vertiefung
Benennung
- Punkt $Q \in \mathbb{R}^3$ (Ortsvektor: $\vec q = \overrightarrow{OQ}$)
-
Gerade $g: \vec x = \vec p + t \cdot \vec v$
- Stützvektor $\vec p \in \mathbb{R}^3$ (mit entsprechendem Punkt $P$)
- Richtungsvektor $\vec v \in \mathbb{R}^3$
Bisher hast du vermutlich implizit angenommen, dass der kürzeste Weg von der Geraden zum Punkt senkrecht verläuft. Wie kann man das zweifelsfrei algebraisch beweisen?
Zur Erinnerung: Der Abstand zwischen $Q$ und $g$ ist definiert als der kleinste Abstand zu $Q$ entlang aller Punkte auf der Geraden $g$.
Aufgabe 1
Leite den Wert des Parameters $t$ her, sodass der Abstand zwischen $Q$ und dem Geradenpunkt $F_t$ (mit $\overrightarrow{OF_t} = \vec p + t \cdot \vec v$) minimal ist.
Tipp 1
Tipp 2
Defininiere als Funktionsterm $d(t)$ den Abstand zwischen $Q$ und $F_t$. Bestimme mit Methoden der Analysis eine Stelle, an der die Funktion ein Minimum annimmt.
Beachte, dass die Funktion $f$ mit $f(t) = d(t)^2$ an den gleichen Stellen wie $d$ minimale Werte erreicht.
Tipp 3
Es gilt:
- $d(t) = \sqrt{(q_1 - p_1 - t \cdot v_1)^2 + (q_2 - p_2 - t \cdot v_2)^2 + (q_3 - p_3 - t \cdot v_3)^2}$
- $f(t) = d(t)^2 = (q_1 - p_1 - t \cdot v_1)^2 + (q_2 - p_2 - t \cdot v_2)^2 + (q_3 - p_3 - t \cdot v_3)^2$
Aufgabe 2
Vergleiche deine Ergebnisse mit der vorherigen Herleitung für den Parameter $t$.
