o-mathe | Abstand Punkt/Gerade (3D)

Vertiefung

Benennung

Punkt $Q \in R^{3}$ (Ortsvektor: $\vec{q} = \vec{O Q}$ )
Gerade $g : \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}$
- Stützvektor $\vec{p} \in R^{3}$ (mit entsprechendem Punkt $P$ )
- Richtungsvektor $\vec{v} \in R^{3}$

Bisher hast du vermutlich implizit angenommen, dass der kürzeste Weg von der Geraden zum Punkt senkrecht verläuft. Wie kann man das zweifelsfrei algebraisch beweisen?

Zur Erinnerung: Der Abstand zwischen $Q$ und $g$ ist definiert als der kleinste Abstand zu $Q$ entlang aller Punkte auf der Geraden $g$ .

Aufgabe 1

Leite den Wert des Parameters $t$ her, sodass der Abstand zwischen $Q$ und dem Geradenpunkt $F_{t}$ (mit $\vec{O F_{t}} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}$ ) minimal ist.

Tipp 1

Tipp 2

Defininiere als Funktionsterm $d (t)$ den Abstand zwischen $Q$ und $F_{t}$ . Bestimme mit Methoden der Analysis eine Stelle, an der die Funktion ein Minimum annimmt.

Beachte, dass die Funktion $f$ mit $f (t) = d (t)^{2}$ an den gleichen Stellen wie $d$ minimale Werte erreicht.

Tipp 3

Es gilt:

$d (t) = \sqrt{(q_{1} - p_{1} - t \cdot v_{1})^{2} + (q_{2} - p_{2} - t \cdot v_{2})^{2} + (q_{3} - p_{3} - t \cdot v_{3})^{2}}$
$f (t) = d (t)^{2} = (q_{1} - p_{1} - t \cdot v_{1})^{2} + (q_{2} - p_{2} - t \cdot v_{2})^{2} + (q_{3} - p_{3} - t \cdot v_{3})^{2}$

Aufgabe 2

Vergleiche deine Ergebnisse mit der vorherigen Herleitung für den Parameter $t$ .

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Aufgabe 1

Aufgabe 2

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