Einstieg – Streuung von Werten

Zur Orientierung

Im Erkundungskapitel hast du das Glücksspiel Chuck a Luck in zwei Varianten kennen gelernt – in der Normalvariante und in einer Risikovariante. Eine Analyse hat ergeben, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ bei beiden Spielvarianten gleich ist. Das heißt, beide Spielvianten liefern auf lange Sicht denselben mittleren Gewinn – nämlich einen mittleren Verlust von ca. $0.08$ Münzen pro Spielrunde. Beim Spielen zeigen sich aber dennoch große Unterschiede. Das spiegelt sich in der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wider.

Chuck a Luck – Normalvariante	Chuck a Luck – Risikovariante
Die Werte liegen alle dicht beisammen.	Der Erwartungswert ergibt sich hier aus zwei Werten mit hoher Wahrscheinlichkeit, die nahe am Erwartungswert liegen, und einem Wert mit geringer Wahrscheinlichkeit, der allerdings sehr weit vom Erwartungswert entfernt liegt.
In der Normalvariante treten kleine Gewinne relativ häufig auf. Man erlebt immer wieder Erfolgserlebnisse. Der Kontostand verändert sich eher gleichmäßig. Das Spiel wirkt somit berechenbarer.	In der Risikovariante verliert man fast immer oder geht leer aus. Man wartet lange auf einen sehr seltenen großen Gewinn. Der Kontostand schwankt stark. Das Spiel wirkt aufregender und riskanter.

Das unterschiedliche Verhalten der beiden Varianten von Chuck a Luck spiegelt sich in der Streuung der Werte um den Erwartungswert wider. Im Folgenden geht es darum, diese Streuung mathematisch zu erfassen. In einem ersten Schritt betrachten wir die Streuung von Datenwerten bei Häufigkeitsverteilungen, in einem zweiten Schritt dann die Streuung von Werten bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen.