Zusammenfassung – Varianz und Standardabweichung

Problemgewinnung mit einem Spiel

Wir betrachten das Glücksspiel Chuck a Luck in der Normalvariante und in einer Risikovariante. In der Risikovariante gewinnt man nur dann Münzen, wenn alle drei Würfelergebnisse mit der Spielzahl übereinstimmen – dann aber viele Münzen. Im folgenden Applet sind die Spielregeln der Riskovariante genauer erklärt.

Anleitung für das Applet

• Lege mit dem roten Schalter im oberen Fenster fest, ob du die Normalvariante oder die Risikovariante spielen möchtest.
• Gib im unteren Fenster die Anzahl der Spieldurchgänge ein (z.B. [10]-mal Chuck a Luck spielen).
• Aktiviere deine Spielzahl, indem du das entsprechende Feld anklickst. Die grün eingefärbte Münze wird als jeweiliger Einsatz dort platziert.
• Mit [Neustart] kannst jetzt die wiederholte Durchführung des Spiels (in der gewählten Variante) starten.
• Während und nach der wiederholten Durchführung des Spiels werden dir die Häufigkeiten der Richtigen (d.h. der Übereinstimmungen von Würfelergebnissen mit der Spielzahl) und der jeweils erreichte Gesamtgewinn angezeigt.

Zum Herunterladen: chuckaluck-risiko1

Folgende Fragestellungen drängen sich hier auf: Worin unterscheiden sich die beiden Spielvarianten des Glücksspiels Chuck a Luck aus der Sicht eines Spielers / einer Spielerin? Welche Variante ist für Spieler(innen) günstiger, welche interessanter? Wie kann man das mathematisch beschreiben?

Um die Gewinnchancen der beiden Spielvarianten vergleichen zu können, beschreiben wir den Gewinn bei einer Spielrunde mit Hilfe von Zufallsgrößen.

Chuck a Luck – Normalvariante	Chuck a Luck – Risikovariante
Zufallsgröße $X$: $X$ ordnet der Anzahl der richtig getippten Würfelergebnisse den Gewinn zu.	Zufallsgröße $X$: $X$ ordnet der Anzahl der richtig getippten Würfelergebnisse den Gewinn zu.
Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $a$ $-1$ $1$ $2$ $3$ $P(X = a)$ $\displaystyle{\frac{125}{216}}$ $\displaystyle{\frac{75}{216}}$ $\displaystyle{\frac{15}{216}}$ $\displaystyle{\frac{1}{216}}$	Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $a$ $-1$ $0$ $108$ $P(X = a)$ $\displaystyle{\frac{125}{216}}$ $\displaystyle{\frac{90}{216}}$ $\displaystyle{\frac{1}{216}}$
Erwartungswert von $X$: $\begin{array}{lcl} E(X) & = & \underbrace{\frac{125}{216}}_{P(X = -1)} \cdot (-1) + \underbrace{\frac{75}{216}}_{P(X = 1)} \cdot 1 + \underbrace{\frac{15}{216}}_{P(X = 2)} \cdot 2 + \underbrace{\frac{1}{216}}_{P(X = 3)} \cdot 3 \\ & = & \displaystyle{-\frac{17}{216}} \\ & \approx & -0.08 \end{array}$	Erwartungswert von $X$: $\begin{array}{lcl} E(X) & = & \underbrace{\frac{125}{216}}_{P(X = -1)} \cdot (-1) + \underbrace{\frac{90}{216}}_{P(X = 0)} \cdot 0 + \underbrace{\frac{1}{216}}_{P(X = 108)} \cdot 108 \\ & = & \displaystyle{-\frac{17}{216}} \\ & \approx & -0.08 \end{array}$

Es fällt auf, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ bei beiden Spielvarianten gleich ist. Das heißt, beide Spielvianten liefern auf lange Sicht denselben mittleren Gewinn – nämlich einen mittleren Verlust von ca. $0.08$ Münzen pro Spielrunde. Beim Spielen zeigen sich aber dennoch große Unterschiede. Das spiegelt sich in der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wider.

Chuck a Luck – Normalvariante	Chuck a Luck – Risikovariante
Die Werte liegen alle dicht beisammen.	Der Erwartungswert ergibt sich hier aus zwei Werten mit hoher Wahrscheinlichkeit, die nahe am Erwartungswert liegen, und einem Wert mit geringer Wahrscheinlichkeit, der allerdings sehr weit vom Erwartungswert entfernt liegt.
In der Normalvariante treten kleine Gewinne relativ häufig auf. Man erlebt immer wieder Erfolgserlebnisse. Der Kontostand verändert sich eher gleichmäßig. Das Spiel wirkt somit berechenbarer.	In der Risikovariante verliert man fast immer oder geht leer aus. Man wartet lange auf einen sehr seltenen großen Gewinn. Der Kontostand schwankt stark. Das Spiel wirkt aufregender und riskanter.

Das unterschiedliche Verhalten der beiden Varianten von Chuck a Luck spiegelt sich in der Streuung der Werte um den Erwartungswert wider. Im Folgenden geht es darum, diese Streuung mathematisch zu erfassen. In einem ersten Schritt betrachten wir die Streuung von Datenwerten bei Häufigkeitsverteilungen, in einem zweiten Schritt dann die Streuung von Werten bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen.

Streuung bei Häufigkeitverteilungen

Wir gehen von folgender Situation aus: Vier Personen führen 10-mal etwas Schwieriges vor (z.B. ein kompliziertes Musikstück, einen Sprung vom 3-Meter-Brett, ...). Die Vorführungen werden mit Punkten bewertet – von 0 Punkte (ganz schlecht) bis 5 Punke (sehr gut). Hier die Ergebnisse der Bewertungen der Personen A, B, C und D.

Für alle vier Personen beträgt der Mittelwert der zehn Bewertungen $\overline{x} = 3$. Die Bewertungen weichen aber unterschiedlich stark von diesem Mittelwert ab. Wir erfassen diese Streuung um den Mittelwert mit Hilfe der Abweichungen vom Mittelwert. In der folgenden Tabelle sind diese Abweichungen exemplarisch für Person C dargestellt. Beachte, dass das Symbol $\Sigma$ für Summe steht.

$x_i$ Bewertungen von C	$|x_i - \overline{x}|$ lineare Abweichung	$(x_i - \overline{x})^2$ quadratische Abweichung
$2$	$1$	$1$
$3$	$0$	$0$
$4$	$1$	$1$
$1$	$2$	$4$
$3$	$0$	0
$3$	$0$	$0$
$1$	$2$	$4$
$5$	$2$	$4$
$5$	$2$	$4$
$3$	$0$	$0$
	$\Sigma: 10$	$\Sigma: 18$

Solche Abweichungen vom Mittelwert lassen sich auch mit einer aus einer Häufigkeitsverteilung der Bewertungen bestimmen. Die folgende Übersicht zeigt die Berechnungen für Person C.

$a$ Bewertungsmöglickeiten	$H(a)$ Häufigkeiten von C	$H(a) \cdot |a - \overline{x}|$ lineare Abweichung	$H(a) \cdot (a - \overline{x})^2$ quadratische Abweichung
$0$	$0$	$0 \cdot 3 = 0$	$0 \cdot 9 = 0$
$1$	$2$	$2 \cdot 2 = 4$	$2 \cdot 4 = 8$
$2$	$1$	$1 \cdot 1 = 1$	$1 \cdot 1 = 1$
$3$	$4$	$4 \cdot 0 = 0$	$4 \cdot 0 = 0$
$4$	$1$	$1 \cdot 1 = 1$	$1 \cdot 1 = 1$
$5$	$2$	$2 \cdot 2 = 4$	$2 \cdot 4 = 8$
		$\Sigma: 10$	$\Sigma: 18$

Aus der Summe der Abweichungen kann man jetzt Werte für die mittlere Abweichung der Werte vom Mittelwert berechnen. Für Person C erhält man folgende Ergebnisse:

• Mittlere lineare Abweichung: $1$
• Mittlere quadratische Abweichung: $1.8$
• Standardabweichung: $\sqrt{1.8} \approx 1.34$

Die folgende Übersicht zeigt diese Streumaße für die Bewertungen von allen vier Personen.

A	B	C	D
Häufigkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2&3&4&5\\ \hline \text{H(a)} & 0&0&3&4&3&0 \end{array}$	Häufigkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2&3&4&5\\ \hline \text{H(a)} & 0&0&5&0&5&0 \end{array}$	Häufigkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2&3&4&5\\ \hline \text{H(a)} & 0&2&1&4&1&2 \end{array}$	Häufigkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2&3&4&5\\ \hline \text{H(a)} & 1&3&1&0&0&5 \end{array}$
Mittelwert: $3$	Mittelwert: $3$	Mittelwert: $3$	Mittelwert: $3$
mittl. lineare Abweichung: $0.6$	mittl. lineare Abweichung: $1$	mittl. lineare Abweichung: $1$	mittl. lineare Abweichung: $2$
mittl. quadr. Abweichung: $0.6$	mittl. quadr. Abweichung: $1$	mittl. quadr. Abweichung: $1.8$	mittl. quadr. Abweichung: $4.2$
Standardabweichung: $0.77$	Standardabweichung: $1$	Standardabweichung: $1.34$	Standardabweichung: $2.05$

Es fällt auf, dass die Datenwerte bei Person A am wenigsten und bei Person D am meisten um den Mittelwert streuen. Weiter fällt auf, dass bei den Personen B und C die mittleren linearen Abweichungen gleich sind, während die mittleren quadratischen Abweichungen und die zugehörigen Standardabweichungen sich unterscheiden. Der Grund hierfür ist, dass man durch das Quadrieren stärkere Abweichungen vom Mittelwert mehr betont.

Die Streumaße für die Bewertungen der vier Personen werden auch im folgenden Applet angezeigt. Da hier die Häufigkeitsverteilungen der Bewertungen zusätzlich mit Histogrammen dargestellt werden, kann man die in den Histogrammen visuell erkennbare Streuung mit den rechnerisch bestimmten Streumaßen in Verbindung bringen.

Zum Herunterladen: bewertungen3.ggb

Wir verallgemeinern die exemplarisch durchgeführten Untersuchungen zur Streung um den Mittelwert und führen hierzu die folgenden Fachbegriffe ein.

Mit dem Zusatz empirisch wird beschrieben, dass die Streumaße aus konkreten Daten einer Datenreihe berechnet werden. Man verzichtet oft auf diesen Zusatz, wenn das aus dem Zusammenhang klar ist.

In der Praxis verwendet man meist die (empirische) Standardabweichung, weil sie dieselbe Maßeinheit wie die betrachtete Ausgangsgröße hat.

Wie in den Beispielen oben gezeigt, lassen sich die Streumaße direkt aus einer (absoluten) Häufigkeitstabelle bestimmen.

Die Streumaße lassen sich auch mit relativen Häufigkeiten berechnen. Es gilt folgender Zusammenhang.

Berechnung der Varianz

Die Berechnung der Varianz einer Zufallsgröße ist recht aufwendig. Hier geht es darum, das Berechnungsverfahren etwas zu vereinfachen.

Betrachte eine Zufallsgröße $X$ mit den Werten $a_1, \dots, a_k$. In der folgenden Heleitung verwenden wir die Summendarstellung mit dem $\Sigma$-Symbol:

$\mu = E(X) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i$

$V(X) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot (a_i - \mu)^2$

Die Formel für die Varianz der Zufallsgröße $X$ lässt sich folgendermaßen umformen:

$\begin{array}{lcll} V(X) & = & \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot (a_i - \mu)^2 \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot (a_i^2 - 2a_i\mu + \mu^2) \\ & = & \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i^2}_{E(X^2)} - 2\mu \cdot \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i}_{\mu} + \mu^2 \cdot \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i)}_{1} \\ & = & E(X^2) - \mu^2 & (5) \end{array}$

Es gilt also folgender Zusammenhang:

Zur Verdeutlichung der Berechnung von Varianzen mit der neuen Formel betrachten wir noch einmal die beiden Chuck-a-Luck-Varianten.

Chuck a Luck – Normalvariante	Chuck a Luck – Risikovariante
Zufallsgröße $X$: $X$ ordnet der Anzahl der richtig getippten Würfelergebnisse den Gewinn zu.	Zufallsgröße $X$: $X$ ordnet der Anzahl der richtig getippten Würfelergebnisse den Gewinn zu.
Erweiterte Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $\begin{array}{l|ccccc} a & -1 & 1 & 2 & 3 & \Sigma\\ \hline P(X=a) & \frac{125}{216} & \frac{75}{216} & \frac{15}{216} & \frac{1}{216} & 1\\ \hline P(X=a) \cdot a & -\frac{125}{216} & \frac{75}{216} & \frac{30}{216} & \frac{3}{216} & -\frac{17}{216}\\ \hline P(X=a) \cdot a^2 & \frac{125}{216} & \frac{75}{216} & \frac{60}{216} & \frac{9}{216} & \frac{269}{216} \end{array}$	Erweiterte Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $\begin{array}{l|cccc} a & -1 & 0 & 108 & \Sigma\\ \hline P(X=a) & \frac{125}{216} & \frac{90}{216} & \frac{1}{216} & 1 \\ \hline P(X=a) \cdot a & -\frac{125}{216} & 0 & \frac{1}{216} & -\frac{17}{216} \\ \hline P(X=a) \cdot a^2 & \frac{125}{216} & 0 & \frac{11664}{216} & \frac{11789}{216} \end{array}$
Erwartungswert von $X$: $E(X) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i = -\frac{17}{216} \approx -0.08$	Erwartungswert von $X$: $E(X) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i = -\frac{17}{216} \approx -0.08$
Erwartungswert von $X^2$: $E(X^2) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i^2 = \frac{269}{216}$	Erwartungswert von $X^2$: $E(X^2) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i^2 = \frac{11789}{216}$
Varianz von $X$: $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{269}{216} - \left( -\frac{17}{216} \right)^2 = \frac{57815}{46656} \approx 1.24$	Varianz von $X$: $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{11789}{216} - \left( -\frac{17}{216} \right)^2 \approx 54.57$
Standardabweichung von $X$: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 1.11$	Standardabweichung von $X$: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 7.39$

Die Berechnungen zeigen, dass die Standardabweichung in der Risikovariante sehr viel größer ist als in der Normalvariante. Das bedeutet, dass man in der Risikovariante auf lange Sicht immer wieder mit deutlichen Abweichungen vom Erwartungswert rechnen muss.