Einstieg
Zur Orientierung
In der Erkundung hast du Histogramme von Binomialverteilungen in eine standardisierte Form gebracht. Wir präzisieren hier die gewonnenen Zusammenhänge.
Die Ausgangssituation klären
Wenn die Standardabweichung $\sigma$ einer Binomialverteilung groß genug ist (man geht üblicherweise von $\sigma > 3$ aus), dann kann man die Form der Verteilung gut mit einer Glockenkurve beschreiben. Um diese gemeinsame Struktur erfassen zu können, führen wir eine Standardisierung der Verteilungen durch. Die Standardisierung bringt unterschiedlich gelagerte und unterschiedlich breite Verteilungen auf eine gemeinsame Vergleichsform.
Definition
Mit einer Standardisierung einer Binomialverteilung transformiert man das Histogramm zur Binomialverteilung mit den folgenden Schritten in ein standardisiertes Histogramm:
Schritt 1 (Verschieben): Verschiebe das Zentrum der Verteilung, das mit dem Erwartungswert $\mu$ erfasst wird, nach $0$.
Schritt 2 (Skalieren bzw. Stauchen / Strecken): Stauche die (verschobene) Verteilung in $x$-Richtung mit dem Faktor $\sigma$ und strecke sie zusätzlich in $y$-Richtung mit dem Faktor $\sigma$.
Im folgenden Applet kann man die beiden Schritte bei der Standardisierung einer Binomialverteilung selbst durchführen.
Zum Herunterladen: binomialstandardisierung2a.ggb
Das Applet verdeutlicht den folgenden interessanten Zusammenhang, den du in der Erkundung experimentell herausgefunden hast.
Standardisierung von Binomialverteilungen
Das standardisierte Histogramm zu einer Binomialverteilung (mit den Parametern $n$ und $p$) hat annähernd die Form einer Glockenkurve. Die Annäherung ist umso besser, je größer die Standardabweichung $\sigma$ der Binomialverteilung ist. Für $\sigma > 3$ kann man von einer guten Annäherung ausgehen.
Die Glockenkurve, mit der du in der Erkundung die standardisierten Histogramme verglichen hast, lässt sich mit einer Funktionsgleichung beschreiben.
Definition
Die Funktion $\varphi$ mit
$\displaystyle{\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}}$
heißt Gauß-Funktion. Ihr Graph ist die Glockenkurve.
Zur Geschichte
Dass sich Binomialverteilungen mit einer Glockenkurve annähern lassen, entdeckte Abraham de Moivre (1667–1754) bereits 1733, zunächst für den Fall $p = 0.5$. Pierre-Simon Laplace (1749–1827) verallgemeinerte das Ergebnis Anfang des 19. Jahrhunderts auf beliebige Trefferwahrscheinlichkeiten $p$. Benannt ist die Funktion trotzdem nach Carl Friedrich Gauß (1777–1855): Er verwendete sie 1809, um Messfehler bei astronomischen Beobachtungen zu beschreiben. Von 1991 bis 2001 war die Glockenkurve zusammen mit einem Porträt von Gauß auf dem 10-DM-Schein abgebildet.
Aufgabe 1
Verdeutliche mithilfe der Standardisierung, dass die Histogramme zu den Binomialverteilungen alle eine ähnliche Struktur aufweisen.