Das Collatz-Problem

Erkundung

In den 1930er Jahren hat Lothar Collatz ein Problem gestellt, das bis heute noch nicht gelöst wurde. Bei dem Problem geht es um Zahlenfolgen, die durch eine einfache Bildungsvorschrift erzeugt werden.

Durch die rekursive Bildungsvorschrift

$a_1=s$
$a_{n+1}=\begin{cases} \displaystyle\frac{a_n}{2} & \text{wenn } a_n \text{ gerade}\\ 3a_n+1 & \text{sonst }\end{cases} $

wird für jede beliebige Startzahl $s$ eine Zahlenfolge erzeugt.

Aufgabe 1

Erkläre mit Hilfe des Applets, wie die Berechnung der einzelnen Folgenglieder mit dieser Darstellung erfolgt. Nutze dazu zuerst die Startzahl $s=12$.

Zum Herunterladen: rechner_collatz1.ggb

Aufgabe 2

Die Formel oben besteht aus den zwei Teilen $a_1=s$ und $a_{n+1}=\begin{cases} \displaystyle\frac{a_n}{2} & \text{wenn } a_n \text{ gerade}\\ 3a_n+1 & \text{sonst }\end{cases}$.

Erkläre, wieso man den ersten Teil unbedingt braucht.