Die Collatz-Vermutung
Formulierung einer Vermutung
Du konntest feststellen, dass die Zahlenfolgen, die du erzeugt hast, ab irgendeinem Folgenglied in den Zyklus übergeht, in dem die Zahlen 4; 2; 1 ständig wiederholt werden.
Demnach formulierte Lothar Collatz seine
Collatz-Vermutung:
Für jede beliebige Startzahl geht die durch die rekursive Bildungsvorschrift
$a_1=s$
$a_{n+1}=\begin{cases} \displaystyle\frac{a_n}{2} & \text{wenn } a_n \text{ gerade}\\ 3a_n+1 & \text{sonst }\end{cases} $
erzeugte Zahlenfolge in einen Zyklus über, in dem die Zahlen 4; 2; 1 ständig wiederholt werden.
Leider konnte diese Vermutung bis heute nicht bewiesen oder widerlegt werden.
Doch durch eine genauere Untersuchung der Zahlenfolgen, zu der auch der Wechsel der Darstellungsform zählt, kann man versuchen, diese besser zu verstehen.
Aufgabe 1
(a) Untersuche, ob die Anzahl der Zahlen bis zum Erreichen des Zyklus (die Pfadlänge) von der Größe der Startzahl abhängt.
(b) Untersuche, ob die Pfadlänge davon abhängt, ob man eine gerade Zahl/ungerade Zahl/Primzahl/Quadratzahl/... als Startzahl benutzt.
(c) Wie groß ist der größte Wert in der Zahlenfolge (das Pfadmaximum)? Untersuche, ob die Größe des Pfadmaximums von Größe der Startzahl abhängt.
