Zusammenfassung - Datenverarbeitung mit Vektoren
Die Grundidee
In vielen Anwendungssituationen gibt es gleichartige Daten, die nach denselben Regeln verarbeitet werden. Als Beispiel betrachten wir eine Blumenzwiebelaktion, bei der verschiedene Mischungen aus Blumenzwiebeln hergestellt und anschließend verkauft werden sollen. In der folgenden Übersicht sind die Daten dargestellt.
- Mischung A: 10 Tulpen, 8 Narzissen, 4 Krokusse; 175 Beutel
- Mischung B: 4 Tulpen, 12 Narzissen, 4 Krokusse; 200 Beutel
- Mischung C: 6 Tulpen, 0 Narzissen, 20 Krokusse; 150 Beutel
- Mischung D: 8 Tulpen, 8 Narzissen, 8 Krokusse; 80 Beutel
Die Zwiebelanzahlen der verschiedenen Mischungen kann man mit Listen darstellen. Wir nutzen hierfür eine Klammerschreibweise, bei der die Listeneinträge untereinander gesetzt werden.
Mischung A: $\left(\begin{array}{c} 10 \\ 8 \\ 4 \end{array}\right)$
Analog kann man die Zwiebelanzahlen der anderen Mischungen mit Listen darstellen.
Die Gesamtanzahl der zu bestellenden Zwiebel für alle Beutel lässt sich jetzt mit passenden Rechenoperationen für solche Listen bestimmen:
$175 \cdot \left(\begin{array}{c} 10 \\ 8 \\ 4 \end{array}\right) + 200 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 12 \\ 4 \end{array}\right) + 150 \cdot \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 20 \end{array}\right) + 80 \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4090 \\ 3800 \\ 5140 \end{array}\right)$
Dieses Rechnen mit Listen fasst mehrere identische Rechnungen zusammenen und vereinfacht so die Rechnungen.
Der Vektorbegriff
Um das Rechnen mit Listen allgemein zu beschreiben, führen wir den Vektorbegriff ein.
Definition:
Ein Vektor ist eine Liste (man sagt oft auch Tupel) aus reellen Zahlen. Die Zahlen, aus denen ein Vektor besteht, nennt man auch Elemente oder Komponenten des Vektors.
Übliche Schreibweise als Spaltenvektor:
$\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)$
Gelegentliche Schreibweise als Zeilenvektor:
$\vec{a} = \left(\begin{array}{c} a_1 \quad a_2 \quad \cdots \quad a_n \end{array}\right)$
Die Anzahl $n$ der Elemente wird auch Dimension des Vektors genannt.
Die Verfahren zum Rechnen mit Vektoren sind ganz naheliegend.
Definition:
Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. mit einer reellen Zahl multipliziert (hierfür sagt man auch skalar multipliziert).
| Rechenoperation | Beispiel | Verallgemeinerung |
|---|---|---|
| Addition | $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -1 \\ -0.5 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \\ 7 \\ 4 \end{array}\right)$ | $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{array}\right)$ |
| Subtraktion | $\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ | $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ \vdots \\ a_n - b_n \end{array}\right)$ |
| skalare Multiplikation |
$0.5 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1.5 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right) \cdot 0.5 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1.5 \end{array}\right)$ |
$r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ \vdots \\ r \cdot a_n \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) \cdot r = \left(\begin{array}{c} a_1 \cdot r \\ a_2 \cdot r \\ \vdots \\ a_n \cdot r \end{array}\right)$ |
Beachte: Die Subtraktion von Vektoren kann man auch mit Hilfe der Addition und einer skalaren Multiplikation durchführen:
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + (-1) \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 + (-1) \cdot b_1 \\ a_2 + (-1) \cdot b_2 \\ \vdots \\ a_n + (-1) \cdot b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ \vdots \\ a_n - b_n \end{array}\right)$
Mit den eingeführten Rechenoperationen für Vektoren kann man jetzt komplexe Rechenausdrücke bilden, z.B.:
$3 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -0.5 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) + (-2) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right)$
Man sagt, dass man die Vektoren hier linear kombiniert.
Die Auswertung erfolgt nach den Rechenoperationen komponentenweise.
$3 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -0.5 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) + (-2) \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) \\ 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-0.5) + (-2) \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 4 + (-2) \cdot 3 \\ 3 \cdot 3 + 4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 10 \\ 9 \end{array}\right)$
Rechenregeln für das Rechnen mit Vektoren
Für das Rechnen mit Vektoren gelten die gängigen Rechengesetze.
| Bezeichnung | Rechengesetz | Verdeutlichung am Beispiel |
|---|---|---|
|
Kommutativgesetz Vektor + Vektor |
$\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)$ |
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) +
\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$ |
|
Assoziativgesetz (Vektor + Vektor) + Vektor |
$\left[\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)\right] + \left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left[\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{array}\right)\right]$ |
$\left[\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) +
\left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \end{array}\right)\right] +
\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 6 \\ 6 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) + \left[\left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 6 \end{array}\right)$ |
|
Assoziativgesetz (Zahl * Zahl) * Vektor |
$(r \cdot s) \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) = r \cdot \left[ s \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)\right]$ |
$(2 \cdot 5) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right) =
10 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 10 \\ 30 \\ -20 \\ 40 \end{array}\right)$
$2 \cdot \left[5 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)\right] = 2 \cdot \left(\begin{array}{c} 5 \\ 15 \\ -10 \\ 20 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 10 \\ 30 \\ -20 \\ 40 \end{array}\right)$ |
|
Distributivgesetz Zahl * (Vektor + Vektor) |
$r \cdot \left[\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)\right] = r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)$ |
$4 \cdot \left[\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) +
\left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right)\right] =
4 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 0 \\ 20 \end{array}\right)$
$4 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -4 \\ 12 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 20 \end{array}\right)$ |
|
Distributivgesetz (Zahl + Zahl) * Vektor |
$(r+s) \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) = r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)$ |
$(4+(-1)) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) =
3 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right)$
$4 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) + (-1) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right)$ |
Besondere Vektoren betrachten
Genau wie beim Rechnen mit Zahlen gibt es auch beim Rechnen mit Vektoren besondere Vektoren.
Ein Nullvektor ist ein Vektor wie z.B. $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$, dessen Elemente alle $0$ sind.
Der Gegenvektor zu einem Vektor $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)$ ist der Vektor $\left(\begin{array}{c} -a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_n \end{array}\right)$, dessen Elemente alle die Gegenzahlen zu den Elementen das Ausgangsvektor sind.
Für diese Vektoren gelten folgen Rechengesetze:
| Bezeichnung | Rechengesetz | Verdeutlichung am Beispiel |
|---|---|---|
| Addition des Nullvektors | $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)$ | $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$ |
| Addition des Gegenvektors | $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)$ | $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ |
