Reaktivität allgemein: Komplexere Abhängigkeiten von Objekten

Objekte können nicht nur auf Änderungen von Zahlwerten aus Schiebereglern automatisch reagieren. Sie können auch von anderen Objekten wie Punkten abhängen. Es können auch Ketten von Abhängigkeiten aufgebaut werden, zum Beispel Schieberegler → Punkt → Punkt → Verbindungsstrecke.

Beispiel-Applet

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Lernaufgabe: Der PNB 118 in Kuala Lumpur (Malaysia) zählt mit knapp 680 Metern Höhe zu den höchsten Gebäuden der Welt. Auf dem Bild waren die Bauarbeiten oben noch nicht ganz abgeschlossen. Stell dir vor, du arbeitest dort auf der Baustelle und telefonierst mit einer Freundin, die unten auf deinen Feierabend wartet. Aus Schusseligkeit fällt dir dabei ein Schraubenschlüssel runter. Kannst du sie noch rechtzeitig warnen, damit sie dem Schraubenschlüssel ausweichen kann? Wie lange dauert es denn, bis der Schraubenschlüssel unten landet?

Der zeitliche Verlauf der Höhe eines fallenden Objekts kann mit einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Das Applet zeigt den entsprechenden Funktionsgraphen. Der Scheitelpunkt liegt in $x$-Richtung bei $0$ und in $y$-Richtung bei der Starthöhe $h_0$.

Die Höhe $h$ zum Zeitpunkt $t$ lässt sich damit durch die Funktionsgleichung $h(t) = -k \cdot t^2 + h_0$ beschreiben. Dabei ist $k$ eine noch unbekannte Konstante für die Streckung, die noch zu bestimmen ist.

(a) Im Applet kannst du verschiedene Starthöhen testen. Bestimme durch geschickte Wahl einer Starthöhe die Konstante $k$.

(b) In der unteren Hälfte ist für verschiedene Starthöhen die Falldauer aufgetragen. Beim Verändern der Starthöhe erzeugst du eine Spur von Punkten. Diese Punkte deuten einen Funktionsgraphen an. Teste verschiedene Starthöhen. Wie hängt die Falldauer als Funktion von der Fallhöhe ab? Nenne dafür den Funktionstyp, zu dem der Zusammenhang darstellt.

(c) Berechne für die Starthöhe $h_0 = 1\,\text{[m]}$ die Zeit $t^*$, nach der der Schraubenschlüssel den Boden trifft.

(d) Bestimme eine Formel für die Zeit $t^*$ bis zum Aufprall für beliebige Starthöhen $h_0$.

Applet nachbauen

Anleitung

• Hintergrund der Funktionsgleichung: Zeit-Ort-Gesetz für den freien Fall

  $h(t) = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + h_0 \approx -5 \cdot t^2 + h_0$ für Fallbeschleunigung $g \approx 10 m / s^2$

• Ein Schieberegler mit Parameter starthoehe ist schon definiert.
• Konstante definieren: fallbeschleunigung = 10
• Funktion definieren: h(t) = -1 / 2 * fallbeschleunigung * t^2 + starthoehe
• Start-/Scheitelpunkt definieren: S = (0, starthoehe)
• Aufprallpunkt für oberes Diagramm definieren: A = Schnittpunkt(h, xAchse, 2) (zweiter Schnittpunkt zwischen Funktionsgraph von $f$ und der $x$-Achse)
• Aufprallpunkt für unteres Diagramm definieren: B = (starthoehe, x(A)) (x(A) liefert die $x$-Koordinate von A)
• Punkt B nur in Grafik 2 (unten) anzeigen
  • Rechtsklick auf Punkt B
  • Einstellungen
  • Erweitert
  • Anzeigen in → Grafik 2 (weit unten, ggf. Bereich für Einstellungen vergrößern)
• Hilfsstrecken definieren:
  • hilfsstreckeHorizontal = Strecke(???, ???)
    Lösung

    hilfsstreckeHorizontal = Strecke((0, 0), (starthoehe, 0))

  • hilfsstreckeVertikal = Strecke(???, ???)
    Lösung

    hilfsstreckeVertikal = Strecke((0, 0), (0, x(A)))

• Farben und Beschriftungen in den Einstellungen ergänzen
• Algebra-Ansicht ausblenden

Mögliche Erweiterungen

• Aktuellen Punkt prominenter als Spurpunkte hervorheben
  • Für Spurpunkte kopierten Punkt definieren: BSpur = B
  • Spur von B deaktivieren, Spur von BSpur aktivieren (jeweils im Rechtsklickmenü)
  • Farbe und Größe von BSpur ändern, um Darstellung weniger prominent zu machen (im Einstellungsfenster bei Farbe und Darstellung)
  • Punkt B in höhere Ebene als BSpur setzen, damit BSpur unsichtbar wird (im Einstellungsfenster bei Diverses → Ebene)
• Animation eines Wurfs entlang der Flugbahn
  • Schieberegler $a$ für $t$-Wert eines Punkts auf der Bahn einführen
  • Reaktiven Punkt (a, h(a)) erzeugen
  • Grenzen des Schiebereglers setzen: 0 bis x(A) (auch wieder reaktiv)
  • Animation des neuen Schiebreglers starten

Andere Projekte

• Visualisierungen mit dynamischen Farben, z. B. Visualisierung des Abstands um einen Punkt herum
  • A = (0, 0)
  • einheitskreis = Kreis(A, 1)
  • B = PunktIn(einheitskreis)
  • abstand = Abstand(A, B)
  • Variablen für Farbanteile rot/grün/blau setzen (Helligkeit nach Farbe von 0 (dunkel) bis 1 (hell))
    • rotStaerke = 0
    • gruenStaerke = 1 - abstand
    • blauStaerke = abstand
    Möglichst darauf achten, dass Menschen mit Rot-Grün-Schwäche die Farben auch unterscheiden können. Knapp 10 Prozent der männlichen und knapp 1 Prozent der weiblichen Bevölkerung sind betroffen!
  • Farbanteile an Punkt B koppeln
    • Rechtsklick
    • Einstellungen
    • Erweitert
    • Dynamische Farben → Rot/Grün/Blau: Jeweils rotStaerke/gruenStaerke/blauStaerke eingeben
• Grafische Bestimmung des optimalen Wurfwinkels beim schrägen Wurf