Zusammenfassung - Kriterien für Wendepunkte und Krümmung Zur Orientierung Die erzielten Ergebnisse dieses Kapitels werden in verschiedenen Abschnitten dargestellt, um sie hierdurch etwas übersichtlicher zu gestalten. q Startseite 400. Archiv 2. Differentialrechnung - Version 2024 + 1. Ableitungen + 1. Änderung eines Bestandes Orientierung Entwicklung der Weltbevölkerungszahl Die Größe der Weltbevölkerung Änderung der Weltbevölkerungzahl Charakterisierung des Änderungsverhaltens Änderungsgeschwindigkeit + 2. Mittlere Änderungsrate + 1. Erkundung - Änderung eines Bestandes Beispiele Populationsentwicklung Downloadrate Geschwindigkeit + 2. Strukturierung - Mittlere Änderungsrate + 3. Wiederholung - Steigung einer Geraden Der Steigungsbegriff Beliebige Steigungsdreiecke Überprüfung + 4. Übungen - Mittlere Änderungsrate + 1. Temperaturentwicklung + 2. Geschwindigkeitsentwicklung + 3. Beliebige Funktionen + 5. Überprüfung - Mittlere Änderungsrate + 6. Zusammenfassung - Mittlere Änderungsrate + 3. Lokale Änderungsrate + 1. Erkundung - Tempolimit Achtung! Blitzer Das Problem Geschwindigkeitsbestimmung Momentangeschwindigkeit + 2. Erkundung - 100m-Lauf Lückenkemper gegen Kambundji Zeit-Weg-Funktion Endgeschwindigkeit Maximalgeschwindigkeit + 3. Erkundung - Freier Fall Fallende Gegenstände Zeit-Weg-Funktion Momentangeschwindigkeit Systematisches Vorgehen + 4. Strukturierung - Lokale Änderungsrate + 5. Übungen - Lokale Änderungsrate + 1. Tempolimit + 2. Bevölkerungswachstum + 3. Schiefe Ebene + 6. Überprüfung - lokale Änderungsrate + 7. Zusammenfassung - Lokale Änderungsrate + 4. Steigung eines Graphen + 1. Erkundung - Experimente mit einem Funktionenmikroskop + 2. Strukturierung - Steigung eines Graphen in einem Punkt + 3. Übungen - Steigung eines Graphen in einem Punkt + 4. Überprüfung - Steigung eines Graphen + 5. Zusammenfassung - Steigung eines Graphen in einem Punkt + 5. Ableitung an einer Stelle + 1. Erkundung - Der Ableitungsbegriff Die Schreibweise $f'(x_0)$ Abschätzung von $f'(x_0)$ Annäherung an $f'(x_0)$ Berechnung von $f'(x_0)$ Existenz von $f'(x_0)$ Grenzwertdarstellung von $f'(x_0)$ + 2. Übungen - Ableitung an einer Stelle + 1. Abschätzung von $f'(x_0)$ + 2. Herleitung von $f'(x_0)$ + 3. $f'(x_0)$ bei linearen Funktionen + 4. Prognose mit $f'(x_0)$ + 3. Überprüfung - Ableitung an einer Stelle + 4. Zusammenfassung - Der Ableitungsbegriff + 6. Tangente an einen Graph + 1. Erkundung - Das Tangentenproblem Konstruktion einer Tangente Ableitung als Tangentensteigung Grafisch ableiten + 2. Übungen - Tangente an einen Graph + 3. Überprüfung - Tangente an einen Graph + 4. Zusammenfassung - Tangente an einen Graph + 2. Ableitungsfunktionen + 1. Gesamtheit aller Ableitungen Orientierung Entwicklung der Weltbevölkerungszahl Entwicklung der Wachstumsgeschwindigkeit Ausblick + 2. Grafisches Ableiten + 1. Erkundung - Achterbahnprofil + 2. Strukturierung - Ableitungsfunktion + 3. Übungen - Grafisches Ableiten + 4. Überprüfung - Grafisches Ableiten + 5. Vertiefung + 6. Zusammenfassung - Ableitungsfunktion + 3. Ableitungsregeln + 1. Erkundung - Potenzfunktionen Profil einer Halfpipe Modellierung mit Potenzfunktionen Ableitung von Potenzfunktionen Anwendung auf die Halfpipe + 2. Erkundung - Kombinationen von Potenzfunktionen Profil einer Halfpipe Modellierung mit Kombinationen von Potenzfunktionen Ableitung von Kombinationen von Potenzfunktionen Anwendung auf die Halfpipe + 3. Strukturierung - Ableitungsregeln Bestimmung von Ableitungsfunktionen Potenzregel Summen- und Faktorregel Ganzrationale Funktionen Herleitung der Potenzregel Herleitung der Summenregel Herleitung der Faktorregel + 4. Übungen - Ableitungsregeln + 5. Überprüfung - Ableitungsregeln + 6. Zusammenfassung - Ableitungsregeln + 4. Höhere Ableitungen + 1. Erkundung - Beschleunigungsfunktion + 2. Strukturierung - Höhere Ableitungen + 3. Übungen - Höhere Ableitungen + 4. Zusammenfassung - Höhere Ableitungen - 3. Funktionsuntersuchungen - Grundlagen + 1. Eigenschaften von Funktionen Orientierung Der Produktionszyklus Probleme und Funktionseigenschaften Schwierigkeiten beim Problemlösen Ausblick + 2. Wachstumsverhalten einer Funktion + 1. Erkundung - Phasen bei Wachstumsprozessen Auf und Ab Beispiel 1 Beispiel 2 + 2. Strukturierung - Beschreibung von Wachstumsprozessen Zielsetzung Wachstumsarten Hoch- und Tiefpunkte Wendepunkte Sattelpunkte + 3. Übungen - Wachstumsverhalten + 1. Charakterisierung von Wachstumsprozessen + 2. Analyse der Ableitungsfunktion + 4. Überprüfung - Beschreibung von Wachstumsprozessen + 5. Zusammenfassung - Beschreibung von Wachstumsprozessen + 3. Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie + 1. Erkundung - Gewinnmaximierung Zielsetzung Bestimmung eines Hochpunktes Variation der Gewinnfunktion Schwierigkeit bei der Gewinnmaximierung + 2. Strukturierung - Kriterien für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie Zusammenhänge zwischen Ausgangs- und Ableitungsfunktion Notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte Hinreichende Bedingungen für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums + 3. Exkurs - Bestimmung von Nullstellen + 4. Vertiefung - Verwendung höherer Ableitungen Verwendung höherer Ableitungen Hinreichende Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte mit höheren Ableitungen Anwendung der hinreichen Bedingungen mit höheren Ableitungen + 5. Exkurs - Wenn-Dann-Aussagen + 6. Übungen - Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten + 1. Vorzeichenwechselkriterium + 2. Kriterien mit höheren Ableitungen + 3. Kugelstoßen + 4. Problemlösen + 5. Quadratische Funktionen + 7. Überprüfung - Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten + 8. Zusammenfassung - Kriterien für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie + 1. Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte + 2. Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte - mit Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion + 3. Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte - mit höheren Ableitungsfunktionen - 4. Wendepunkte und Krümmung + 1. Erkundung - Grippewelle Trendwende Ein Wendepunkt Bestimmung des Wendepunktes + 2. Strukturierung - Kriterien für Wendepunkte und Krümmung Zielsetzung Wendepunkte und die Krümmung des Graphen Notwendige Bedingung für Wendepunkte Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung Bestimmung von Wendepunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium Bestimmung von Wendepunkten mit höheren Ableitungen + 3. Übungen - Bestimmung von Wendepunkten + 1. Vorzeichenwechselkriterium + 2. Höhere Ableitungen + 3. Weltbevölkerungswachstum + 4. Kostenentwicklung + 5. Kubische Funktionen + 4. Überprüfung - Bestimmung von Wendepunkte - 5. Zusammenfassung - Kriterien für Wendepunkte und Krümmung + 1. Notwendige Bedingung für Wendepunkte + 2. Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung + 3. Hinreichende Bedingung für Wendepunkte - mit höheren Ableitungsfunktionen + 4. Funktionsuntersuchungen - Anwendungen + 1. Optimierungsprobleme + 1. Fallstudie - Optimale Schachteln Die Ausgangssituation Die Größe der Schachteln Das Optimierungsproblem Die Zielfunktion Die Extremwertbestimmung Die Lösung des Optimierungsproblems Variation der Kartongröße Variation der Kartongestaltung Zusammenfassung + 2. Fallstudie - Optimale Milchtüte Die Ausgangssituation Das Optimierungsproblem Die Zielfunktion Die Extremwertbestimmung Die Lösung des Optimierungsproblems Verbesserung der Modellierung Erneute Extremwertbestimmung Deutung der Lösung Zusammenfassung + 3. Fallstudie - Optimale Rechtecke Die Ausgangssituation Das Optimierungsproblem Lösung mit einer Zielfunktion Eine Lösung ohne Zielfunktion Variation des Optimierungsproblems Ein weiteres Optimierungsproblem Zusammenfassung + 4. Fallstudie - Optimale Getränkedose Die Ausgangssituation Das Optimierungsproblem - Version 1 Das Optimierungsproblem - Version 2 + 5. Fallstudie - Optimales Spielfeld Die Ausgangssituation Das Optimierungsproblem - Version 1 Das Optimierungsproblem - Version 2 + 2. Ganzrationale Funktionen + 1. Station - Funktionsgraphen modellieren Orientierung Entwicklung der Weltbevölkerungszahl Die Kontur der Fassade des Teatro Popular Ausblick + 2. Station - Mit Nullstellen argumentieren Nullstellen einer Funktion Anzahl der Nullstellen Anzahl der Extrempunkte Anzahl der Wendepunkte Anwendungen + 3. Station - Mit Ableitungsgraphen argumentieren Die Argumentationsstrategie Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 Ganzrationale Funktionen vom Grad 4 Anwendung + 4. Station - Mit Symmetrie argumentieren Symmetrische Funktionsgraphen Symmetriebedingungen Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen + 5. Station - Mit dem Grenzverhalten argumentieren Ein Zuordnungsproblem Grenzverhalten Dominante Potenzfunktion Grenzverhalten vom Potenzfunktionen Lösung des Zuordnungsproblems + 6. Station - Parameter variieren Eine Funktionenschar Extrempunkte Wendepunkte Lage der Hochpunkte + 3. Funktionsbestimmung + 1. Fallstudie - Bevölkerungsentwicklung Die Ausgangssituation Bedingungen an die Funktion Lineares Gleichungssystem Verbesserung des Modells + 2. Fallstudie - Architektur Ein erstes Beispiel Weitere Beispiele + 3. Fallstudie - Tunnelbau Die Ausgangssituation Planungsversion 1 Planungsversion 2 Planungsversion 3 Planungsversion 4
