Strukturierung – Mittlere Änderungsrate
Bestandsänderungen mathematisch erfassen
In den vorgehenden Abschnitten hast du Bestandsänderungen in unterschiedlichen Kontexten untersucht:
- Kontext Download: Bestand: aktuelle Datenmenge auf dem Rechner; Änderung: mittlere Downloadrate bzw. mittlere Downloadgschwindigkeit
- Kontext Population: Bestand: aktuelle Populationsgröße; Änderung: mittlere Wachstumsgeschwindigkeit
Wir verallgemeinern die Ergebnisse hier, indem wir uns vom speziellen Kontext lösen und eine beliebige Bestandsentwicklung betrachten:
Festlegung
Die Funktion $f$ beschreibe die Entwicklung eines Bestandes. Sie ordnet jedem Wert einer Ausgangsgröße $x$ (z.B. der Zeit) den jeweiligen Bestandswert $f(x)$ (z. B. die Populationsgröße) zu.
Aufgabe 1 (Einstieg)
Wende die Begriffe aus der obigen Festlegung an folgendem Applet an, beispielsweise am Punkt $P$.
Zum Herunterladen: mittlere_aenderungsrate.ggb
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
a)
Betrachte die im Applet voreingestellte Bestandsänderung von $P$ nach $Q$ mit den Daten:
$P(\,\textcolor{red}{2}\mid \textcolor{blue}{0.59}\,) \rightarrow Q(\,\textcolor{red}{5}\mid \textcolor{blue}{3.18}\,)$
Kläre folgende Fragen (und kontrolliere die Ergebnisse mit den Kontrollkästchen im Applet).
- Um welchen $y$-Wert hat sich der Bestand von $P$ nach $Q$ verändert?
- Wie groß war die Schrittweite (d. h. die Änderung des $x$-Werts) dabei?
- Wie groß ist die mittlere Änderung des $y$-Werts pro Schrittweiteneinheit?
- Warum muss man im aktuellen Fall von einer mittleren/durchschnittlichen Änderung sprechen?
b)
Betrachte eine Bestandsänderung von $P$ nach $Q$ mit den Daten:
$P(\,\textcolor{red}{x_0}\mid \textcolor{blue}{f(x_0)}\,) \rightarrow Q(\,\textcolor{red}{x_1}\mid \textcolor{blue}{f(x_1)}\,)$
Gib Formeln zur Berechnung der folgenden Größen an.
- Änderung des $y$-Werts von $P$ nach $Q$: ...
- Schrittweite (d.h. die Änderung des $x$-Werts) von $P$ nach $Q$: ...
- mittlere Änderung des $y$-Werts pro Schrittweiteneinheit beim Übergang von $P$ nach $Q$: ...
Aufgabe 3 (Sicherung)
Oft interessiert nicht nur die gesamte Änderung eines Bestandes in einem Intervall, sondern die mittlere Änderung pro Schrittweite in diesem Intervall. Diese mittlere Änderung pro Schrittweite kann man auch als mittlere Änderungsgeschwindigkeit deuten. Wir führen einen Fachbegriff für diese Größe ein:
Definition
Die Entwicklung eines Bestands werde mit einer Funktion $f$ beschrieben. Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$ beschreibt die Änderung des Bestandes pro Schrittweite in diesem Intervall. Man berechnet sie so:
$m(x_0, x_1) = \dots$
a) Fülle die Lücke in der Formel oben und verwende dabei die passenden Farben. Nutze dafür deine Ergebnisse von Aufgabe 2.
b) Erkläre, warum der Term aus Teilaufgabe a) den Namen Differenzenquotient trägt.
Aufgabe 4 (Vertiefung)
Definition
Die mittlere Änderungsrate entspricht der ... der Geraden durch $P(\,\textcolor{red}{x_0}\mid \textcolor{blue}{f(x_0)}\,)$ und $Q(\,\textcolor{red}{x_1}\mid \textcolor{blue}{f(x_1)}\,)$. Diese Gerade wird auch Sekante (zu Graph $f$) durch $P$ und $Q$ genannt.
Fülle die Lücke im Satz oben. Begründe.
Aufgabe 5 (Sicherung)
Fülle die linke Hälfte des Wissensspeichers zu Änderungsraten aus.
