Vertiefung – Mathematisierung

Das Experiment als Zufallsexperiment deuten

Zur Überprüfung der Fähigkeiten des Kandidaten H.K. haben die Skeptiker folgendes Experiment vorgesehen:
Der Kandidat H.K. soll 13-mal Wasser mit seinen Stäben suchen, das in einem von 10 Eimern versteckt ist.

Aufgabe 1

(a) Warum handelt es sich aus Sicht der Skeptiker beim vorgeschlagenen Experiment um ein Zufallsexperiment?

(b) Die Skeptiker gehen bei ihrer Hypothese davon aus, dass der Kandidat beim Wassersuchen nur rät.
Mit welcher Wahscheinlichkeit trifft der Kandidat den richtigen Eimer aus Sicht der Skeptiker?
Ergänze diese Wahrscheinlichkeit bei der Beschreibung der Hypothese. Diese Hypothese wird auch Nullhypothese genannt.

$H_0: p = \dots$

(c) Begründe, dass es sich beim durchzuführenden Experiment aus Sicht der Skeptiker um eine Bernoulli-Kette handelt.
Ergänze den folgenden zusammenfassenden Satz:

Aus Sicht der Skeptiker handelt es sich bei dem Experiment um eine Bernoulli-Kette mit den Parametern $n = \dots$ und $p = \dots$.

Kontrolle

(a) Die Skeptiker vermuten, dass der Kandidat nur rät. Die Suche nach dem Wasser ist aus ihrer Sicht dann ein Zufallsexperiment.

(b) Nullhypothese: $H_0: p = 0.1$

(c) Zufallsexperiment: Bernoulli-Kette mit $n = 13$ und $p = 0.1$

Trefferwahrscheinlichkeiten bestimmen

Der Kandidat landet einen Treffer, wenn er den Eimer mit Wasser richtig bestimmt.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der Treffer bei der Durchführung des Experiments.

Aufgabe 2

Gehe von der Nullhypothese $H_0$ aus, dass der Kandidat den Eimer mit Wasser nur rät.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit landert er dann $0$ Treffer, $1$ Treffer, $2$ Treffer usw.?

Bestimme diese Wahrscheinlichkeiten mit dem folgenden Applet. Stelle hierzu zunächst die Parameter der Binomialverteilung korrekt ein.

Zum Herunterladen: binomialverteilung5.ggb

Kontrolle

$P(X = 0) \approx 0.2542$, $P(X = 1) \approx 0.3672$, $P(X = 2) \approx 0.2448$, ...

Fehlerwahrscheinlichkeiten bestimmen

Der Kandidat hat den Test bestanden, wenn er mindestens 7-mal den Eimer mit Wasser richtig bestimmt hat.

Aufgabe 3

(a) Bestimme mit Hilfe des Applets die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, dass der Kandidat den Test besteht, obwohl die Nullhypothese $H_0$ zutrifft (bzw. er nur rät).

(b) Es könnte sein, dass der Kandidat tatsächlich Wasser besser mit seinen Stäben ermitteln kann als jemand, der nur rät.
Betrachte den Fall, dass er den Eimer mit Wasser mit der Wahrscheinlichkeit von $p = 0.8$ (bzw. $p = 0.5$) richtig vorhersagt.
Bestimme mit Hilfe des Applets die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, dass der Kandidat den Test unter dieser Voraussetzung nicht besteht.

Kontrolle

(a) Fehler 1. Art:

$P(X \geq 7 | p = 0.1) \approx 0.000099$

(b) Fehler 2. Art:

$P(X \text{ < } 7 | p = 0.8) \approx 0.007$

$P(X \text{ < } 7 | p = 0.5) \approx 0.5$

Die Entscheidungsregel genauer untersuchen

Die Skeptiker versuchen, es dem Kandidaten sehr schwer zu machen, den Test durch Raten zu bestehen. Sie konzipieren die Entscheidungsregel so, dass der Fehler 1. Art (den Test bestehen, obwohl die Nullhypothese zutrifft) sehr klein wird. Üblicherweise legen sie eine Obergrenze für diesen Fehler fest. Diese Obergrenze wird Signifikanzniveau genannt.
Wenn ein Kandidat es schafft, den Test zu bestehen, dann wird das als signifikante Abweichung von der Nullhypothese betrachtet und dann die Nullthypothese verworfen.

Aufgabe 4

(a) Begründe: Die Skeptiker nutzen vermutlich das Signifikanzniveau $\alpha = 0.0001 = 0.01\%$.

(b) Der Kandidat P.T. behauptet, dass er mit seinem Pendel erspüren kann, ob sich unter einem Karton ein Aluminium-Röhrchen befindet oder nicht. Zur Überprüfung der Fähigkeiten des Kandidaten haben die Skeptiker folgendes Experiment vorgesehen:
Der Kandidat P.T. soll 50-mal mit seinen Pendel feststellen, ob ein Aluminium-Röhrchen unter einem Karton versteckt ist oder nicht. Den Test hat er bestanden, wenn er mindestens 40-mal einen Treffer landet.

Überprüfe, ob bei diesem Testszenario auch das Signifikanzniveau von $\alpha = 0.0001 = 0.01\%$ berücksichtigt wird.
Vergleiche die Bedingungen für die Kandidaten H.K. und P.T. – sind die Bedingungen fair gewählt? Schreibe gegebenenfalls eine Anfrage an die Skeptiker.

Kontrolle

(a) Für den Fehler 1. Art gilt: $P(X \geq 7 | p = 0.1) \approx 0.000099 \leq 0.0001$.

(b) Für den Test für den Kandidaten P.T. erhält man:

$P(X \geq 40 | p = 0.5) \approx 0.000012$

$P(X \geq 39 | p = 0.5) \approx 0.000045$

$P(X \geq 38 | p = 0.5) \approx 0.000155$

Bei einem Signifikanzniveau von $\alpha = 0.0001 = 0.01\%$ wäre es fair, wenn der Kandidat P.T. den Test ab mindestens 39 Treffern bestehen würde. Warum die Skeptiker bei ihm einen Treffer mehr verlangen, ist unklar.