Einstieg

Vom Sharing-System zu Austauschprozessen

Bei einem Austauschprozess betrachtet man die Entwicklung eines Bestandes an Objekten (wie z.B. Tablets). Die Objekte können sich dabei in verschiedenen Zuständen befinden (bei den Tablets legt der Ort, an dem sie gelagert sind, den jeweiligen Zustand fest). Während des Prozesses ändert sich die Gesamtanzahl der Objekte nicht. Es ändert sich lediglich die Verteilung der Objekte hinsichtlich ihrer Zustände.

Die folgende Übersicht verdeutlicht am Beispiel des Tablet-Sharing-Systems, wie man einen Austauschprozess beschreibt.

Übergangsgraph	Übergangstabelle
	von A von B von C zu A $0.8$ $0.1$ $0.3$ zu B $0.1$ $0.7$ $0.1$ zu C $0.1$ $0.2$ $0.6$

Ein Austauschprozess lässt sich mit einem Übergangsgraph oder mit einer Übergangstabelle beschreiben. Beide – Graph und Tabelle – legen die Veränderung der Verteilung der Objekte auf die betrachteten Zustände fest.

Im Übergangsgraph werden die Zustände mit Hilfe von Knoten erfasst, in der Übergangstabelle mit Hilfe der Spalten- und Zeilenbezeichnern.

Entscheidend für die Prozessentwicklung sind die Zahlenangaben an den Kanten des Übergangsgraphen bzw. in den Spalten der Übergangstabelle. Diese Zahlen geben die Anteile der Objekte an, die im nächsten Simulationsschritt vom ausgehenden Zustand in den hinführenden Zustand wechseln. Diese Zahlen werden bei der Simulation des Austauschprozesses genutzt.

Schritte	A	B	C
$0$	$100$	$100$	$100$
$1$	$120$	$90$	$90$
$2$	$132$	$84$	$84$
$3$	$139.2$	$80.4$	$80.4$
...	...	...	...

Die Zahlen in der Entwicklungstabelle beschreiben die jeweilige Verteilung der Objekte auf die Zustände. Vorgeben muss man nur die Ausgangsverteilung. Die weiteren Verteilungen ergeben sich dann aus dem Übergangsgraph bzw. der Übergangstabelle.

Beachte, dass wir hier auch Dezimalzahlen als Verteilungswerte zulassen. In der realen Welt machen Angaben wie $80.4$ Tablets keinen Sinn. Die Verteilungswerte sind Modellwerte, die reale Situationen nur näherungsweise beschreiben.

Aufgabe 1

Welche Bedingung müssen die Zahlenangaben im Übergangsgraph bzw. in der Übergangstabelle erfüllen, damit bei der Ausführung des Austauschprozesses die Gesamtanzahl der Objekte gleich bleibt? Formuliere diese Bedingung und erkläre sie kurz.

Aufgabe 2

Die Ausgangswerte werden alle verdoppelt. Untersuche, wie sich die Entwicklung der Werte verändert. Was fällt auf?

Schritte	A	B	C
$0$	$200$	$200$	$200$
$1$	...	...	...
...	...	...	...

Aufgabe 3

Die Entwicklung des Sharing-Systems kann man auch mit relativen Häufigkeitsangaben beschreiben. Ergänze die fehlenden Werte und vergleiche mit den absoluten Häufigkeitsangaben in Aufgabe 1 und Aufgabe 2

Schritte	A	B	C
$0$	$1/3$	$1/3$	$1/3$
$1$	...	...	...
...	...	...	...