Überprüfung - Modellierung von Austauschprozessen
Aufgabe 1
Ein Prozess wird mit diesen Daten beschrieben:
| Übergangsgraph |
Prozessmatrix |
Verteilungsvektor |
|
$P = \begin{pmatrix}
\cdots & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}$
|
$\vec{v}_0 = \begin{pmatrix}
50 \\
10 \\
40
\end{pmatrix}$
|
Teste dich selbst: Kannst du die folgenden Fragen klären?
(a)
Was beschreiben die Knoten A, B und C im Übergangsgraph?
Zur Kontrolle
Der Übergangsgraph beschreibt ein System, bei dem sich die Objekte eines Objektbestandes in den $3$ verschiedenen
Zuständen A, B, oder C befinden.
(b)
Was beschreibt die Kante $A \stackrel{0.1}{\longrightarrow} B$, was
die Kante $A \stackrel{0.5}{\longrightarrow} A$ im Übergangsgraph?
Zur Kontrolle
$10 \%$ der Objekte, die sich im Zustand A befinden, wechseln im nächsten Simulationsschritt
in den Zustand B.
$50 \%$ der Objekte, die sich im Zustand A befinden, verbleiben im nächsten Simulationsschritt
in diesem Zustand.
(c)
Was ist ein Austauschprozess?
Warum handelt es sich beim beschriebenen Prozess um einen Austauschprozess?
Zur Kontrolle
Bei einem Austauschprozess ändert sich die Gesamtanzahl der Objekte des betrachteten Objektbestandes nicht.
Der vorgegebene Übergangsgraph beschreibt einen Austauschprozess,
da die Summe der Zahlen an den Pfeilen, die von einem Knoten ausgehen, $1$ bzw. $100 \%$ beträgt.
(d)
Wie beschreibt man den vorgegebenen Prozess mit einer Prozessmatrix?
Zur Kontrolle
$P = \begin{pmatrix}
0.5 & 0 & 0.2 \\
0.1 & 1 & 0.2 \\
0.4 & 0 & 0.6
\end{pmatrix}$
(e)
Was beschreibt der vorgegebene Verteilungsvektor?
Zur Kontrolle
Der Verteilungsvektor
$\vec{v}_0 = \begin{pmatrix}
50 \\
10 \\
40
\end{pmatrix}$
gibt an, wie viele Objekte sich zu Beginn in den Zuständen A, B und C befinden.
(f)
Wie berechnet man die Objektverteilung nach einem Simulationsschritt?
Zur Kontrolle
$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 =
\begin{pmatrix}
0.5 & 0 & 0.2 \\
0.1 & 1 & 0.2 \\
0.4 & 0 & 0.6
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
50 \\
10 \\
40
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
25+0+8 \\
5+10+8 \\
20+0+24
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
33 \\
23 \\
44
\end{pmatrix}
$
(g)
Wie könnte man die Objektverteilung zu Beginn mit relativen Häufigkeiten beschreiben?
Zur Kontrolle
$\vec{v}_0 = \begin{pmatrix}
0.5 \\
0.1 \\
0.4
\end{pmatrix}$
