Erarbeitung
Zur Orientierung
Im Prozesssimulationstool ProSiTo sind alle Daten zum bereits betrachteten Tablet-Sharing-System vorgegeben. Ziel ist es, die mathematischen Grundlagen zur Simulation eines solchen Systems zu entwickeln.
Einen Übergangsgraph mit einer Matrix beschreiben
Den Übergangsgraph zu einem Austauschprozess kann man mit einer Übergangstabelle und einer Prozessmatrix dargestellen.
Aufgabe 1
(a) Betrachte den Austauschprozess, der im Prozesssimulationstool ProSiTo dargestellt ist. Erläutere anhand dieses Beispiels, wie die Prozessmatrix mit dem Übergangsgraph zusammenhängt.
(b) Die Prozessmatrix bei einem Austauschprozess muss bestimmte Bedingungen erfüllen. Begründe, dass sie eine stochastische Matrix sein muss.
Stochastische Matrix
Eine stochastische Matrix ist eine Matrix mit folgenden Eigenschaften:
- Die Matrix ist quadratisch.
- Alle Elemente $a_{ij}$ der Matrix sind reelle Zahlen mit $0 \leq a_{ij} \leq 1$.
- Die Summe aller Elemente in jeder Spalte der Matrix beträgt $1$.
Die Entwicklung eines Austauschprozesses mit Matrizenrechnung beschreiben
Bei der Ausführung eines Austauschprozesses werden ausgehend von einer Ausgangsverteilung in jedem Schritt die neuen Verteilungen der Objekte auf die Zustände bestimmt. Im Tablet-Sharing-System erhält man folgende Werte:
| Schritte | A | B | C |
|---|---|---|---|
| $0$ | $100$ | $100$ | $100$ |
| $1$ | $120 = 0.8 \cdot 100 + 0.1 \cdot 100 + 0.3 \cdot 100$ | $90 = \dots$ | $90 = \dots$ |
| $2$ | $132 = \dots$ | $84 = \dots$ | $84 = \dots$ |
| $3$ | $139.2 = \dots$ | $80.4 = \dots$ | $80.4 = \dots$ |
| ... | ... | ... | ... |
Aufgabe 2
(a) Erkläre die bereits angezeigte Berechnung des neuen Werts für $A$. Ergänze für Schritt 1 und Schritt 2 die noch fehlenden Berechnungen.
(b)
Kontrolliere deine Berechnungen in ProSiTo mit dem Button
.
Um alle Daten sehen zu können, muss du ggf. mit dem Button
in die Vollbildsschirmansicht wechseln.
Die Berechnungen werden in etwas verallgemeinerter Form beschrieben.
Erläutere die dargestellten Formeln.
Aufgabe 3
Diese Berechnungen kann man übersichtlich mit den Matrix-Vektor-Produkt darstellen. Die jeweilige Aufteilung eines Objektbestandes in die Zustände beschreibt man dabei mit Verteilungsvektoren.
| Schritte | Verteilungsvektor | Berechnung |
|---|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ | |
| $1$ | $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 120 \\ 90 \\ 90 \end{pmatrix}$ | $\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 0.1 & 0.7 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ |
| $2$ | $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 132 \\ 84 \\ 84 \end{pmatrix}$ | $\vec{v}_2 = \color{red}{\cdots}$ |
| ... | ... | ... |
| $n$ | $\vec{v}_n = \cdots$ | $\vec{v}_n = \color{red}{\cdots}$ |
(a) Ergänze in der Tabelle die mit $\color{red}{\cdots}$ markierten Teile.
(b) Ergänze entsprechend die mit $\color{red}{\cdots}$ markierten Teile im folgenden Satz.
Simulation eines Austauschprozesses
Ein Austauschprozess werde mit einer Prozessmatrix $P$ beschrieben. Die Ausgangsverteilung der Objekte werde mit einem Verteilungsvektor $\vec{v}_{0}$ erfasst. Die Entwicklung der Objektverteilungen kann man dann so berechnen:
$\vec{v}_{n} = \color{red}{\cdots}$ für alle Schritte $n \geq 1$.
